Calcule a segunda derivada de cada função dada abaixo. (Obs. Simplifique a expressão obtida)
(a) f(x)=2\left(x^{2}-1\right)^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=2\bigl(x^{2}-1\bigr)^{3}
e pede a segunda derivada f''(x). Para isso vamos usar a regra do poder composta (cadeia) para obter f'(x) e, em seguida, a regra do produto (mais cadeia) para achar f''(x).

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada f'(x). Tirando a constante 2 para fora e aplicando a cadeia em (x^2-1)^3, temos
f'(x) =2\cdot 3\bigl(x^{2}-1\bigr)^{2}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}-1) =2\cdot 3\bigl(x^{2}-1\bigr)^{2}\cdot 2x =12x\,(x^{2}-1)^{2}.

Passo 3

Agora vamos à segunda derivada f''(x). Observe que
f'(x)=12x\cdot (x^{2}-1)^{2}
é produto de u(x)=12x e v(x)=(x^{2}-1)^{2}. Calculamos primeiro
u'(x)=12, \qquad v'(x)=2\bigl(x^{2}-1\bigr)\cdot\frac{d}{dx}(x^{2}-1) =2(x^{2}-1)\cdot 2x =4x\,(x^{2}-1).
Aplicando a regra do produto,
f''(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) =12\,(x^{2}-1)^{2} +12x\cdot 4x\,(x^{2}-1).

Passo 4

Para simplificar, fatoramos 12\,(x^{2}-1) em ambas parcelas:
f''(x) =12(x^{2}-1)\Bigl[(x^{2}-1)+4x^{2}\Bigr] =12(x^{2}-1)\,(5x^{2}-1).

Resposta

f''(x)=12\,(x^{2}-1)\,(5x^{2}-1).

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