Suponha que uma corda vibre com uma frequência de 440 Hz . Esta corda está presa nas duas extremidades. Considere que o centro da corda descreva um MHS com amplitude igual a 4 mm e phi=0. a) Escreva a equação que descreve o movimento deste ponto em função do tempo. b) Os valores máximos da velocidade e da aceleração. C0 é comum definir a “arrancada” como sendo a derivada da aceleração em função do tempo. Obtenha a “arrancada” para o centro da corda em função do tempo e calcule o valor máximo da arrancada.

Passo 1

O enunciado diz que o ponto central da corda descreve um Movimento Harmônico Simples com frequência f=440 Hz, amplitude A=4 mm e fase inicial phi=0. Vamos usar a fórmula geral
x(t)=Acos(omega t+phi)
em que omega=2pi f.

Passo 2

Calculamos a frequência angular e convertemos a amplitude para o SI:
omega = 2pi f = 2picdot440 = 880pi rad/s
A = 4 mm = 4times10^-3 m
Logo, a equação do movimento é
x(t) = Acos(omega t) = 4times10^-3cosl(880pi,tr) [m]

Passo 3

A velocidade é a derivada de x(t):
v(t) = dxdt = -A,omega,sin(omega t)
O valor máximo de sin em módulo é 1, logo
vmax = A,omega = 4times10^-3cdot880pi approx 11,06 m/s
A aceleração é a derivada de v(t):
a(t) = dvdt = -A,omega^2,cos(omega t)
e seu valor máximo em módulo é
amax = A,omega^2 = 4times10^-3,(880pi)^2 approx 3,06times10^4 m/s^2

Passo 4

A “arrancada” (jerk) é a derivada da aceleração:
j(t) = dadt = A,omega^3,sin(omega t)
O valor máximo em módulo de sin é 1, portanto
jmax = A,omega^3 = 4times10^-3,(880pi)^3 approx 8,44times10^7 m/s^3

Resposta

a) x(t) = 4 times 10^-3 cosl(880pi,tr) m
b) vmax approx 11,06 m/s, amax approx 3,06 times 10^4 m/s^2
c) j(t) = 4 times 10^-3 ,(880pi)^3 sin(880pi,t) m/s^3, jmax approx 8,44 times 10^7 m/s^3

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