Suponha que a corrente em um condutor diminui exponencialmente com o tempo de acordo com a equação I(t)=I0 e^-t / tau, onde I0 é a corrente inicial (em t=0 ) a tau é uma constante que tem dimensões de tempo. Considere um ponto de observação fixo dentro do condutor. Quanta carga passa por este ponto entre t=0 e t=tau ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a corrente elétrica que está diminuindo de forma exponencial com o tempo, descrita pela equação $ I(t) = I_{0} e^{-t / \tau} $. A gente quer saber quanta carga passa por um ponto fixo no condutor entre o tempo $ t = 0 $ e $ t = \tau $. Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo, especialmente de integrais, porque a carga é a integral da corrente em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a carga elétrica $ Q $ que passa por um ponto é a integral da corrente $ I(t) $ ao longo do tempo. Ou seja:
Q

Passo 3

Substituímos a expressão da corrente $ I(t) $ na integral:
I(t)
Como $ I_{0} $ é uma constante, podemos tirá-la da integral:
Q = integral0^tau I0 e^-t / tau , dt

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral $ \int e^{-t / \tau} , dt $. A antiderivada de $ e^{-t / \tau} $ é $ -\tau e^{-t / \tau} $. Então:
integral e^-t / tau , dt
Onde $ C $ é a constante de integração, que a gente não precisa se preocupar aqui porque vamos avaliar a integral definida.

Passo 5

Aplicamos os limites de integração de 0 a $ \tau $:
tau
Q = I0 [ -tau e^-t / tau ]0^tau
Q = I0 ( -tau e^-1 - (-tau e^0) )

Passo 6

Fatoramos $ \tau $ e simplificamos:
tau

Resposta

A carga que passa pelo ponto entre $ t = 0 $ e $ t = \tau $ é $ Q = I_{0} \tau (1 - e^{-1}) $.

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