Suponha que a corrente em um condutor diminui exponencialmente com o tempo de acordo com a equação
, onde
é a corrente inicial (em
) a
é uma constante que tem dimensões de tempo. Considere um ponto de observação fixo dentro do condutor. Quanta carga passa por este ponto entre
e
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a corrente elétrica que está diminuindo de forma exponencial com o tempo, descrita pela equação $ I(t) = I_{0} e^{-t / \tau} $. A gente quer saber quanta carga passa por um ponto fixo no condutor entre o tempo $ t = 0 $ e $ t = \tau $. Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo, especialmente de integrais, porque a carga é a integral da corrente em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a carga elétrica $ Q $ que passa por um ponto é a integral da corrente $ I(t) $ ao longo do tempo. Ou seja:
Passo 3
Substituímos a expressão da corrente $ I(t) $ na integral:
Como $ I_{0} $ é uma constante, podemos tirá-la da integral:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral $ \int e^{-t / \tau} , dt $. A antiderivada de $ e^{-t / \tau} $ é $ -\tau e^{-t / \tau} $. Então:
Onde $ C $ é a constante de integração, que a gente não precisa se preocupar aqui porque vamos avaliar a integral definida.
Passo 5
Aplicamos os limites de integração de 0 a $ \tau $:
Passo 6
Fatoramos $ \tau $ e simplificamos:
Resposta
A carga que passa pelo ponto entre $ t = 0 $ e $ t = \tau $ é $ Q = I_{0} \tau (1 - e^{-1}) $.