Suponha um dado onde uma face tem o número 1 , duas faces têm o número 2 e três faces o número 3. Suponha o experimento de lançar duas vezes esse dado e observar o número na face superior.
Para esse experimento, defina as seguintes variáveis aleatórias:
X= menor número entre os dois lançamentos.
Y= maior número entre os dois lançamentos.
© Encontre a função de probabilidade conjunta do vetor aleatório (X, Y).

Passo 1

Beleza, o exercício pede a função de probabilidade conjunta de , onde é o menor e é o maior valor obtido em dois lançamentos de um dado viciado (1 face com “1”, 2 faces com “2” e 3 faces com “3”). Isso cai em probabilidade discreta e transformação de variáveis (min e max). Para resolver a gente vai precisar da distribuição de cada lançamento, da ideia de independência e de como combinar os eventos para obter o par .

Passo 2

Primeiro, a distribuição de cada lançamento é
P(D=1)=tfrac16, P(D=2)=tfrac26, P(D=3)=tfrac36,
e os dois lançamentos são independentes (ou seja, a probabilidade conjunta de dois resultados é o produto das individuais).

Passo 3

Quais valores (1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,3) podem aparecer? Como e de dois resultados que valem 1,2 ou 3, só temos os pares
Eventos como não aparecem porque aí o mínimo seria 1 e o máximo 2, ou seja, já seria contado como .

Passo 4

Agora, para cada par distinto P(X=x,Y=y)=2cdot P(D=x),P(D=y), x, o evento P(X=x,Y=x)=P(D=x)^2 ocorre se um lançamento deu e o outro deu , em qualquer ordem. Como os lançamentos são independentes,
Para o caso , os dois lançamentos precisam dar exatamente , então

Passo 5

Basta substituir os valores:

Resposta

A função de probabilidade conjunta pX,Y(x,y)= tfrac136,& (x,y)=(1,1),[6pt] tfrac19,& (x,y)=(1,2) ou (2,2),[6pt] tfrac16,& (x,y)=(1,3),[6pt] tfrac13,& (x,y)=(2,3),[6pt] tfrac14,& (x,y)=(3,3),[4pt] 0,&caso contrário é
á

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