Sejam
e
duas variáveis aleatórias independentes com distribuç̧ão Binomial,
e
. Seja
obtenha (a)
, (b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão fala sobre duas variáveis aleatórias,
e
, que seguem distribuições binomiais, especificamente
e
. Essas duas variáveis são independentes, ou seja, o que acontece em uma não afeta a outra. A gente define
e precisa encontrar duas coisas:
(a) A função de probabilidade de
, que é
.
(b) A probabilidade condicional de
dado que
, que é
.
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de distribuições binomiais, propriedades de variáveis independentes e probabilidades condicionais. Vamos passo a passo para ficar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Uma variável aleatória
que segue uma distribuição binomial
representa o número de sucessos em
tentativas, onde cada tentativa tem uma probabilidade
de sucesso.
Como
e
são independentes e seguem distribuições binomiais
e
, respectivamente, a soma delas,
, também segue uma distribuição binomial, mas com parâmetros ajustados.
Passo 3
Vamos agora encontrar
, a função de probabilidade de
. Sabemos que a soma de duas variáveis binomiais independentes
e
é outra binomial
. Portanto, a função de probabilidade de
é:
onde
pode variar de 0 a
.
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b), que envolve probabilidade condicional. Queremos encontrar
, que é a probabilidade de
dado que
.
Usamos a definição de probabilidade condicional:
Como
, temos que para
,
deve ser
. Então:
Passo 5
Substituindo as probabilidades binomiais, temos:
Multiplicando essas duas expressões:
Simplificando:
Passo 6
Agora, dividimos essa expressão por
que já encontramos no Passo 3:
Os termos
e
se cancelam:
Passo 7
Observamos que essa expressão representa a probabilidade de distribuir
sucessos entre
e
tentativas, mantendo a proporcionalidade das combinações possíveis. Essa é a função hipergeométrica de probabilidade.
Resposta
(a) A função de probabilidade de
é:
(b) A probabilidade condicional de
dado
é: