Sejam X1 e X2 duas variáveis aleatórias independentes com distribuç̧ão Binomial, B(n, p) e B(m, p). Seja Z=X1+X2 obtenha (a) fZ(z), (b) fX1 mid z(xi)=P(X1=x1 mid Z=z)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão fala sobre duas variáveis aleatórias, X1 e X2, que seguem distribuições binomiais, especificamente B(n, p) e B(m, p). Essas duas variáveis são independentes, ou seja, o que acontece em uma não afeta a outra. A gente define Z = X1 + X2 e precisa encontrar duas coisas:
(a) A função de probabilidade de Z, que é fZ(z).
(b) A probabilidade condicional de X1 dado que Z = z, que é fX1 mid Z(xi) = P(X1 = xi mid Z = z).
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de distribuições binomiais, propriedades de variáveis independentes e probabilidades condicionais. Vamos passo a passo para ficar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição binomial. Uma variável aleatória X que segue uma distribuição binomial B(k, p) representa o número de sucessos em k tentativas, onde cada tentativa tem uma probabilidade p de sucesso.
Como X1 e X2 são independentes e seguem distribuições binomiais B(n, p) e B(m, p), respectivamente, a soma delas, Z = X1 + X2, também segue uma distribuição binomial, mas com parâmetros ajustados.

Passo 3

Vamos agora encontrar fZ(z), a função de probabilidade de Z. Sabemos que a soma de duas variáveis binomiais independentes B(n, p) e B(m, p) é outra binomial B(n + m, p). Portanto, a função de probabilidade de Z é:
fZ(z) = binomn + mz p^z (1 - p)^n + m - z
onde z pode variar de 0 a n + m.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b), que envolve probabilidade condicional. Queremos encontrar fX1 mid Z(xi), que é a probabilidade de X1 = xi dado que Z = z.
Usamos a definição de probabilidade condicional:
P(X1 = xi mid Z = z) = P(X1 = xi e Z = z)P(Z = z)
Como Z = X1 + X2, temos que para Z = z, X2 deve ser z - xi. Então:
P(X1 = xi e Z = z) = P(X1 = xi) cdot P(X2 = z - xi)

Passo 5

Substituindo as probabilidades binomiais, temos:
P(X1 = xi) = binomnxi p^xi (1 - p)^n - xi
P(X2 = z - xi) = binommz - xi p^z - xi (1 - p)^m - (z - xi)
Multiplicando essas duas expressões:
P(X1 = xi e Z = z) = binomnxi binommz - xi p^xi + z - xi (1 - p)^n + m - z
Simplificando:
P(X1 = xi e Z = z) = binomnxi binommz - xi p^z (1 - p)^n + m - z

Passo 6

Agora, dividimos essa expressão por P(Z = z) que já encontramos no Passo 3:
Os termos P(X1 = xi mid Z = z) = binomnxi binommz - xi p^z (1 - p)^n + m - zbinomn + mz p^z (1 - p)^n + m - z e p^z se cancelam:
(1 - p)^n + m - z

Passo 7

Observamos que essa expressão representa a probabilidade de distribuir z sucessos entre n e m tentativas, mantendo a proporcionalidade das combinações possíveis. Essa é a função hipergeométrica de probabilidade.

Resposta

(a) A função de probabilidade de Z é:
fZ(z) = binomn + mz p^z (1 - p)^n + m - z
(b) A probabilidade condicional de X1 dado Z = z é:
fX1 mid Z(xi) = binomnxi binommz - xibinomn + mz

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