Calcule os limites:
(v)
(v)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
. O conteúdo envolve limites indeterminados e vamos usar séries de Taylor (expansões) para numerador e denominador.
Passo 2
Para o numerador, primeiro expandimos
perto de zero:
Assim,
Passo 3
Aplicamos então a raiz cúbica a essa soma usando o binômio para pequenas perturbações: se
,
. Aqui temos
e
, logo
Em termos de potências de
:
Passo 4
Somando
ao resultado, o numerador fica
Note que, para
, o termo dominante é
.
Passo 5
Para o denominador, usamos a expansão de
com
:
Passo 6
Agora formamos o quociente e dividimos numerador e denominador por
:
Passo 7
Como
quando
, o limite à direita é
. Para
, vale que o termo dominante conserva o sinal de
, levando a
. Logo o limite bilateral não converge a um valor finito.
Passo 8
Concluímos que não há limite finito. As duas condições laterais divergem em sinais opostos.
Resposta
O limite bilateral não existe, pois
e
.