Calcule os limites:
(v) lim x 0 raiz[3]x^2+sen(3 x)+xln (x^2+x+1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0raiz[3]x^2+sin(3x)+xln(x^2+x+1). O conteúdo envolve limites indeterminados e vamos usar séries de Taylor (expansões) para numerador e denominador.

Passo 2

Para o numerador, primeiro expandimos sin(3x) perto de zero:
sin(3x) = 3x - (3x)^36 + O(x^5) = 3x - 92x^3 + O(x^5)
Assim,
x^2 + sin(3x) = 3x + x^2 + O(x^3)

Passo 3

Aplicamos então a raiz cúbica a essa soma usando o binômio para pequenas perturbações: se y = a + epsilon, y^1/3 = a^1/3 + tfrac13a^-2/3epsilon + O(epsilon^2). Aqui temos a=3x e epsilon=x^2, logo
raiz[3]x^2+sin(3x) = (3x)^1/3 + 13(3x)^-2/3,x^2 + O(x^5/3)
Em termos de potências de x:
raiz[3]x^2+sin(3x) = 3^1/3x^1/3 + O(x^4/3)

Passo 4

Somando +x ao resultado, o numerador fica
raiz[3]x^2+sin(3x) + x = 3^1/3x^1/3 + x + O(x^4/3)
Note que, para xto0, o termo dominante é 3^1/3x^1/3.

Passo 5

Para o denominador, usamos a expansão de ln(1+u) com u = x + x^2:
ln(1 + x + x^2) = (x + x^2) - tfrac12(x + x^2)^2 + O(x^3) = x + tfrac12x^2 + O(x^3)

Passo 6

Agora formamos o quociente e dividimos numerador e denominador por x:
raiz[3]x^2+sin(3x)+xln(x^2+x+1) = 3^1/3x^1/3 + x + O(x^4/3)x + O(x^2) = 3^1/3x^-2/3 + 1 + O(x^1/3)

Passo 7

Como x^-2/3to+infty quando xto0^+, o limite à direita é +infty. Para xto0^-, vale que o termo dominante conserva o sinal de x^1/3, levando a -infty. Logo o limite bilateral não converge a um valor finito.

Passo 8

Concluímos que não há limite finito. As duas condições laterais divergem em sinais opostos.

Resposta

O limite bilateral não existe, pois limxto0^+=+infty e limxto0^-=-infty.

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