Calcule a Área das Regiões Abaixo
Região delimitada pelas curvas y=x6 e y=1x^2+3 x+2 para 0 <= x <= 1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região entre as curvas y=tfracx6 e y=tfrac1x^2+3x+2 para 0<= x<=1. O conteúdo é cálculo de área entre curvas via integrais definidas, precisando identificar qual função está acima e montar a integral da diferença.

Passo 2

Precisamos ver onde as curvas se cruzam em [0,1] e qual fica por cima. Igualando tfracx6=tfrac1x^2+3x+2 obtém-se a raiz x=1 no intervalo. Testando um ponto (por exemplo, x=0,5) vemos que tfrac1x^2+3x+2>tfracx6. Logo, de 0 a 1, a curva y=1/(x^2+3x+2) está acima.

Passo 3

A área procurada é integral0^1l[tfrac1x^2+3x+2-tfracx6r]dx.

Passo 4

Para calcular integraltfrac1x^2+3x+2dx fazemos frações parciais:
1x^2+3x+2=1(x+1)(x+2)=1x+1-1x+2
Então
integrall(tfrac1x+1-tfrac1x+2r)dx=ln|x+1|-ln|x+2|+C, e
integralx6dx=x^212+C

Passo 5

Agora avaliamos
integral0^1l[tfrac1x^2+3x+2-tfracx6r]dx=l[ln(x+1)-ln(x+2)-tfracx^212r]0^1

Resposta

lnl(tfrac43r)-tfrac112

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