Suponha que um departamento tenha 60 homens e 15 mulheres. Quantas maneiras de formar um comitê com seis membros são possíveis:
se ele deve ter o mesmo número de homens e mulheres?

Passo 1

Então, a gente tem um problema de combinação aqui! O enunciado diz que temos 60 homens e 15 mulheres em um departamento, e precisamos formar um comitê de seis membros. A condição é que o comitê tenha o mesmo número de homens e mulheres. Para resolver isso, vamos usar a matéria de combinações, que nos ajuda a calcular de quantas maneiras podemos escolher elementos de um grupo sem se importar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que se o comitê tem seis membros e deve ter o mesmo número de homens e mulheres, isso significa que teremos 3 homens e 3 mulheres no comitê.

Passo 3

Agora, vamos calcular de quantas maneiras podemos escolher 3 homens dentre os 60 disponíveis. Para isso, usamos a fórmula das combinações:
C(n, k) = n!k!(n-k)!
Onde $ n $ é o número total de opções e $ k $ é o número de escolhas que queremos fazer.

Passo 4

Aplicando a fórmula para os homens:
C(60, 3) = 60!3!(60-3)! = 60!3! cdot 57!
Isso simplifica para:
C(60, 3) = 60 times 59 times 583 times 2 times 1 = 34.220

Passo 5

Agora, vamos calcular de quantas maneiras podemos escolher 3 mulheres dentre as 15 disponíveis, usando a mesma fórmula:
C(15, 3) = 15!3!(15-3)! = 15!3! cdot 12!
Simplificando:
C(15, 3) = 15 times 14 times 133 times 2 times 1 = 455

Passo 6

Para encontrar o número total de maneiras de formar o comitê com 3 homens e 3 mulheres, multiplicamos as duas combinações que calculamos:
34.220 times 455 = 15.551.100

Resposta

Existem 15.551.100 maneiras diferentes de formar um comitê de seis membros com o mesmo número de homens e mulheres.

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