Suponha que um departamento tenha 60 homens e 15 mulheres. Quantas maneiras de formar um comitê com seis membros são possíveis:
se deve ter pelo menos uma mulher e um homem?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um departamento com 60 homens e 15 mulheres, totalizando 75 pessoas. A pergunta é: de quantas jeitos diferentes a gente pode formar um comitê de 6 membros, garantindo que tenha pelo menos uma mulher e um homem. Vamos precisar usar combinações, que é um jeito de contar quantas formas diferentes podemos escolher grupos sem se importar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quantas maneiras existem de formar qualquer comitê de 6 pessoas, sem nenhuma restrição. Isso é dado pela combinação de 75 pessoas escolhendo 6:
binom756
Essa fórmula nos diz todas as possíveis combinações de 6 pessoas dentre as 75 disponíveis.

Passo 3

Agora, queremos excluir os comitês que não atendem à condição de ter pelo menos uma mulher e um homem. Ou seja, precisamos remover:
  1. Comitês formados apenas por homens
  2. Comitês formados apenas por mulheres

Passo 4

Vamos calcular primeiro os comitês apenas de homens. Como temos 60 homens, a quantidade de comitês só de homens é:
binom606
Isso representa todas as combinações possíveis de 6 homens dentre os 60 disponíveis.

Passo 5

Em seguida, calculamos os comitês apenas de mulheres. Com 15 mulheres no total, a quantidade de comitês só de mulheres é:
binom156
Novamente, isso nos dá todas as combinações de 6 mulheres dentre as 15 disponíveis.

Passo 6

Para encontrar o número de comitês que tem pelo menos uma mulher e um homem, subtraímos os comitês que são apenas homens e apenas mulheres do total de comitês:
binom756 - binom606 - binom156

Resposta

O número total de maneiras de formar o comitê com pelo menos uma mulher e um homem é:
binom756 - binom606 - binom156

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