Suponha que desejamos fornecer energia a uma ilha que está a 800 m de uma praia reta. Na praia, a usina elétrica mais próxima fica a 2 km de distância de um ponto F localizado na frente da ilha. Para colocar energia na ilha é necessário colocar um cabo desde a usina até um ponto P na praia, e depois outro da praia até a ilha. Sabe-se que o custo de um metro de cabo na terra é de
o valor do metro na água. Com estas informações responda:
- Onde devemos posicionar o ponto P , para que o custo da rede elétrica até a ilha seja o mínimo?
- Se mudamos a proporção do custo de um metro de cabo na terra em relação o valor do metro na água de forma que o valor em terra seja agora
do valor do metro na agua então o ponto P muda? que podemos concluir ao mudarmos esta proporção?.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma ilha que está a 800 metros da praia. Na praia, há um ponto F que está a 2 km (2000 metros) da usina elétrica mais próxima. Para levar energia à ilha, precisamos colocar um cabo da usina até um ponto P na praia e, de lá, outro cabo até a ilha. O custo do cabo na terra é
do custo na água.
Conteúdo da matéria: Otimização de custos em redes de distribuição, aplicando geometria e cálculo para minimizar despesas.
O que vamos precisar: Usar conceitos de otimização e cálculo de custos, considerando a distância e os diferentes custos por metro de cabo na terra e na água.
Passo 2
Vamos visualizar a situação. Imagine a praia como uma linha reta, com o ponto F sendo o ponto na praia mais próximo da ilha. A ilha está a 800 metros perpendicularmente da praia. A usina está a 2000 metros ao longo da praia a partir do ponto F.
Queremos encontrar o ponto P na praia onde o cabo sairá da usina para a praia e depois para a ilha, de forma que o custo total seja mínimo.
Passo 3
Vamos definir algumas variáveis para facilitar:
- Seja $ x $ a distância, em metros, do ponto F até o ponto P na praia. Se $ x $ for positivo, P está na direção da usina; se negativo, na direção contrária.
A distância total que o cabo vai percorrer será:
- Da usina até P: 2000 - $ x $ metros.
- De P até a ilha: usando o teorema de Pitágoras, já que a ilha está a 800 metros da praia, a distância é $ \sqrt{x^2 + 800^2} $ metros.
Passo 4
Vamos considerar os custos:
- Custo do cabo na terra (usina até P): $ C_{terra} = \frac{3}{5} \times $ custo do metro na água.
- Custo do cabo na água (P até a ilha): $ C_{agua} = 1 \times $ custo do metro na água.
Para facilitar, vamos chamar o custo do metro na água de $ k $. Assim:
- Custo total $ C $ será:
Passo 5
Para minimizar o custo, precisamos encontrar o valor de $ x $ que minimiza a função $ C $.
Podemos simplificar a função dividindo por $ k $ (já que é uma constante e não afeta a otimização):
Agora, vamos derivar $ C’ $ em relação a $ x $ e igualar a zero para encontrar o mínimo.
Passo 6
Calculando a derivada de $ C’ $ em relação a $ x $:
Igualando a zero para encontrar o ponto mínimo:
Passo 7
Vamos resolver a equação:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por $ x^2 + 640000 $:
Multiplicando ambos os lados por 25:
Subtraindo $ 9x^2 $ de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 16:
Calculando a raiz quadrada:
Passo 8
Encontramos que $ x = 600 $ metros. Isso significa que o ponto P deve estar a 600 metros em direção à usina a partir do ponto F para minimizar o custo da rede elétrica.
Resposta
Para minimizar o custo da rede elétrica até a ilha, devemos posicionar o ponto P a 600 metros da frente da ilha na direção da usina.