Suponha que desejamos fornecer energia a uma ilha que está a 800 m de uma praia reta. Na praia, a usina elétrica mais próxima fica a 2 km de distância de um ponto F localizado na frente da ilha. Para colocar energia na ilha é necessário colocar um cabo desde a usina até um ponto P na praia, e depois outro da praia até a ilha. Sabe-se que o custo de um metro de cabo na terra é de 35 o valor do metro na água. Com estas informações responda:
  • Onde devemos posicionar o ponto P , para que o custo da rede elétrica até a ilha seja o mínimo?
  • Se mudamos a proporção do custo de um metro de cabo na terra em relação o valor do metro na água de forma que o valor em terra seja agora 9 / 10 do valor do metro na agua então o ponto P muda? que podemos concluir ao mudarmos esta proporção?.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma ilha que está a 800 metros da praia. Na praia, há um ponto F que está a 2 km (2000 metros) da usina elétrica mais próxima. Para levar energia à ilha, precisamos colocar um cabo da usina até um ponto P na praia e, de lá, outro cabo até a ilha. O custo do cabo na terra é 35 do custo na água.
Conteúdo da matéria: Otimização de custos em redes de distribuição, aplicando geometria e cálculo para minimizar despesas.
O que vamos precisar: Usar conceitos de otimização e cálculo de custos, considerando a distância e os diferentes custos por metro de cabo na terra e na água.

Passo 2

Vamos visualizar a situação. Imagine a praia como uma linha reta, com o ponto F sendo o ponto na praia mais próximo da ilha. A ilha está a 800 metros perpendicularmente da praia. A usina está a 2000 metros ao longo da praia a partir do ponto F.
Queremos encontrar o ponto P na praia onde o cabo sairá da usina para a praia e depois para a ilha, de forma que o custo total seja mínimo.

Passo 3

Vamos definir algumas variáveis para facilitar:
  • Seja $ x $ a distância, em metros, do ponto F até o ponto P na praia. Se $ x $ for positivo, P está na direção da usina; se negativo, na direção contrária.
A distância total que o cabo vai percorrer será:
  1. Da usina até P: 2000 - $ x $ metros.
  2. De P até a ilha: usando o teorema de Pitágoras, já que a ilha está a 800 metros da praia, a distância é $ \sqrt{x^2 + 800^2} $ metros.

Passo 4

Vamos considerar os custos:
  • Custo do cabo na terra (usina até P): $ C_{terra} = \frac{3}{5} \times $ custo do metro na água.
  • Custo do cabo na água (P até a ilha): $ C_{agua} = 1 \times $ custo do metro na água.
Para facilitar, vamos chamar o custo do metro na água de $ k $. Assim:
  • Custo total $ C $ será: Cterra = 35 times

Passo 5

Para minimizar o custo, precisamos encontrar o valor de $ x $ que minimiza a função $ C $.
Podemos simplificar a função dividindo por $ k $ (já que é uma constante e não afeta a otimização):
x
Agora, vamos derivar $ C’ $ em relação a $ x $ e igualar a zero para encontrar o mínimo.

Passo 6

Calculando a derivada de $ C’ $ em relação a $ x $:
C'
x
Igualando a zero para encontrar o ponto mínimo:
dC'dx = ddx(35(2000 - x)) + ddx(raizx^2 + 800^2)

Passo 7

Vamos resolver a equação:
xraizx^2 + 800^2 = 35
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
x^2x^2 + 800^2 = (35)^2
x^2x^2 + 640000 = 925
Multiplicando ambos os lados por $ x^2 + 640000 $:
x^2 + 640000
Multiplicando ambos os lados por 25:
x^2 = 925(x^2 + 640000)
Subtraindo $ 9x^2 $ de ambos os lados:
25x^2 = 9x^2 + 5760000
Dividindo ambos os lados por 16:
9x^2
Calculando a raiz quadrada:
16x^2 = 5760000

Passo 8

Encontramos que $ x = 600 $ metros. Isso significa que o ponto P deve estar a 600 metros em direção à usina a partir do ponto F para minimizar o custo da rede elétrica.

Resposta

Para minimizar o custo da rede elétrica até a ilha, devemos posicionar o ponto P a 600 metros da frente da ilha na direção da usina.

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