Suponha que se deseje obter uma aproximação para o valor de
. Como se pode obter essa aproximação usando o método da bissecção? Obtenha essa aproximação com precisão de
.
Passo 1
O que o problema pede: aproximar o valor de
pelo método da bissecção com precisão
(ou seja, erro absoluto menor ou igual a
).
Informações que temos: queremos uma raiz de alguma função cuja solução seja . Não há outras informações no enunciado.
Informações que temos: queremos uma raiz de alguma função cuja solução seja
Passo 2
Idéia do método da bissecção (explicação didática e simples):
- Escolhemos uma função contínua
que tenha uma raiz igual a . Um escolha natural e simples é , porque . - Se uma função contínua
tem sinais opostos em dois pontos e (ou seja, ), então existe pelo menos uma raiz em . A bissecção garante encontrar essa raiz aproximando sucessivamente o intervalo onde ela está, sempre dividindo o intervalo ao meio e escolhendo a metade que contém a mudança de sinal. - Em cada iteração tomamos o ponto médio
. Se paramos; se tem mesmo sinal que substituímos , caso contrário substituímos . - Importante: depois de
iterações o comprimento do intervalo é , e o erro do ponto médio final (diferença entre a verdadeira raiz e o ponto médio) é no máximo metade desse comprimento, isto é
Para garantir erro
convém escolher
tal que
Vou usar isso para decidir quantas iterações são necessárias.
Passo 3
Escolha do intervalo inicial e verificação do sinal (explicando passo a passo):
- Tome
. Observamos que está entre e (porque ). Vamos checar os sinais em e :
Como
e
têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em
— essa raiz é
. Então começamos a bissecção em
.
Passo 4
Cálculo do número de iterações necessárias:
Queremos . Aqui
. Logo
Queremos
Tomando log base
,
Assim
deve ser pelo menos
, ou seja
. Portanto com
iterações a meia- largura do intervalo final será
. Conclusão: precisamos de
iterações para garantir a precisão pedida.
Passo 5
Iteração 1: intervalo inicial
.
Ponto médio .
.
Como e
, a raiz está em
. Novo intervalo:
.
Ponto médio
Como
Passo 6
Iteração 2:
.
.
(aprox.)
.
Como e
, a raiz está em
. Novo intervalo:
.
Como
Passo 7
Iteração 3:
.
.
.
Como e
, a raiz está em
. Novo intervalo:
.
Como
Passo 8
Iteração 4:
.
.
.
Raiz em . Novo intervalo:
.
Raiz em
Passo 9
Iteração 5:
.
.
.
Raiz em . Novo intervalo:
.
Raiz em
Passo 10
Iteração 6:
.
.
.
Raiz em . Novo intervalo:
.
Raiz em
Passo 11
Iteração 7:
.
.
.
Raiz em . Novo intervalo:
.
Raiz em
Passo 12
Iteração 8:
.
.
.
Raiz em . Novo intervalo:
.
Raiz em
Passo 13
Iteração 9:
.
.
.
Raiz em . Novo intervalo:
.
Raiz em
Passo 14
Iteração 10:
.
.
.
Raiz em . Novo intervalo:
.
Raiz em
Passo 15
Iteração 11:
.
.
.
Raiz em . Novo intervalo:
.
Raiz em
Passo 16
Iteração 12:
.
.
.
Raiz em . Novo intervalo:
.
Raiz em
Passo 17
Iteração 13:
.
.
.
Raiz em . Novo intervalo:
.
Raiz em
Passo 18
Iteração 14:
.
.
.
Raiz em . Novo intervalo:
.
Raiz em
Passo 19
Iteração 15:
.
.
.
Raiz em . Novo intervalo:
.
Raiz em
Passo 20
Iteração 16:
.
.
.
Como e
, o novo (e final, após 16 iterações) intervalo é
.
Como
Passo 21
Cálculo do ponto médio final e verificação do erro:
O ponto médio do intervalo final é
O ponto médio do intervalo final é
O comprimento do intervalo final é
, então o erro máximo do ponto médio é metade disso:
Portanto a aproximação
tem a precisão requerida.