Suponha que se deseje obter uma aproximação para o valor de \pi. Como se pode obter essa aproximação usando o método da bissecção? Obtenha essa aproximação com precisão de 10^{-5}.

Passo 1

O que o problema pede: aproximar o valor de \pi pelo método da bissecção com precisão 10^{-5} (ou seja, erro absoluto menor ou igual a 10^{-5}).
Informações que temos: queremos uma raiz de alguma função cuja solução seja \pi. Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Idéia do método da bissecção (explicação didática e simples):
  • Escolhemos uma função contínua f que tenha uma raiz igual a \pi. Um escolha natural e simples é f(x)=\sin x, porque \sin \pi=0.
  • Se uma função contínua f tem sinais opostos em dois pontos a e b (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0), então existe pelo menos uma raiz em [a,b]. A bissecção garante encontrar essa raiz aproximando sucessivamente o intervalo onde ela está, sempre dividindo o intervalo ao meio e escolhendo a metade que contém a mudança de sinal.
  • Em cada iteração tomamos o ponto médio m=\dfrac{a+b}{2}. Se f(m)=0 paramos; se f(m) tem mesmo sinal que f(a) substituímos a\leftarrow m, caso contrário substituímos b\leftarrow m.
  • Importante: depois de n iterações o comprimento do intervalo é (b-a)/2^{n}, e o erro do ponto médio final (diferença entre a verdadeira raiz e o ponto médio) é no máximo metade desse comprimento, isto é
\text{erro} \le \frac{b-a}{2^{n+1}}.
Para garantir erro \le 10^{-5} convém escolher n tal que
\frac{b-a}{2^{n+1}} \le 10^{-5}.
Vou usar isso para decidir quantas iterações são necessárias.

Passo 3

Escolha do intervalo inicial e verificação do sinal (explicando passo a passo):
  • Tome f(x)=\sin x. Observamos que \pi está entre 3 e 4 (porque 3<\pi<4). Vamos checar os sinais em a=3 e b=4:
\sin 3 \approx 0,1411200080598672 > 0,
\sin 4 \approx -0,7568024953079282 < 0.
Como \sin 3 e \sin 4 têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em [3,4] — essa raiz é \pi. Então começamos a bissecção em [3,4].

Passo 4

Cálculo do número de iterações necessárias:
Queremos \dfrac{b-a}{2^{n+1}} \le 10^{-5}. Aqui b-a=1. Logo
\frac{1}{2^{n+1}} \le 10^{-5} \quad\Longrightarrow\quad 2^{n+1} \ge 10^{5}.
Tomando log base 2,
n+1 \ge \log_2(10^{5}) = 5\log_2(10) \approx 5\cdot 3{,}321928 \approx 16{,}60964.
Assim n+1 deve ser pelo menos 17, ou seja n\ge 16. Portanto com 16 iterações a meia- largura do intervalo final será \le 7{,}62939453125\times 10^{-6}<10^{-5}. Conclusão: precisamos de 16 iterações para garantir a precisão pedida.

Passo 5

Iteração 1: intervalo inicial [a,b]=[3,4].
Ponto médio \,m_1=\dfrac{3+4}{2}=3{,}5.
\sin 3{,}5 \approx -0{,}35078322768961984 <0.
Como \sin 3>0 e \sin 3{,}5<0, a raiz está em [3,3{,}5]. Novo intervalo: [3,3{,}5].

Passo 6

Iteração 2: [a,b]=[3,3{,}5].
m_2=\dfrac{3+3{,}5}{2}=3{,}25.
\sin 3{,}25 \approx -0{,}108197 (aprox.) <0.
Como \sin 3>0 e \sin 3{,}25<0, a raiz está em [3,3{,}25]. Novo intervalo: [3,3{,}25].

Passo 7

Iteração 3: [a,b]=[3,3{,}25].
m_3=\dfrac{3+3{,}25}{2}=3{,}125.
\sin 3{,}125 \approx 0{,}0165919>0.
Como \sin m_3>0 e \sin 3{,}25<0, a raiz está em [3{,}125,3{,}25]. Novo intervalo: [3{,}125,3{,}25].

Passo 8

Iteração 4: [a,b]=[3{,}125,3{,}25].
m_4=\dfrac{3{,}125+3{,}25}{2}=3{,}1875.
\sin 3{,}1875 \approx -0{,}0458909<0.
Raiz em [3{,}125,3{,}1875]. Novo intervalo: [3{,}125,3{,}1875].

Passo 9

Iteração 5: [a,b]=[3{,}125,3{,}1875].
m_5=\dfrac{3{,}125+3{,}1875}{2}=3{,}15625.
\sin 3{,}15625 \approx -0{,}0146569<0.
Raiz em [3{,}125,3{,}15625]. Novo intervalo: [3{,}125,3{,}15625].

Passo 10

Iteração 6: [a,b]=[3{,}125,3{,}15625].
m_6=\dfrac{3{,}125+3{,}15625}{2}=3{,}140625.
\sin 3{,}140625 \approx 0{,}00096765>0.
Raiz em [3{,}140625,3{,}15625]. Novo intervalo: [3{,}140625,3{,}15625].

Passo 11

Iteração 7: [a,b]=[3{,}140625,3{,}15625].
m_7=\dfrac{3{,}140625+3{,}15625}{2}=3{,}1484375.
\sin 3{,}1484375 \approx -0{,}0068448<0.
Raiz em [3{,}140625,3{,}1484375]. Novo intervalo: [3{,}140625,3{,}1484375].

Passo 12

Iteração 8: [a,b]=[3{,}140625,3{,}1484375].
m_8=\dfrac{3{,}140625+3{,}1484375}{2}=3{,}14453125.
\sin 3{,}14453125 \approx -0{,}0029385964<0.
Raiz em [3{,}140625,3{,}14453125]. Novo intervalo: [3{,}140625,3{,}14453125].

Passo 13

Iteração 9: [a,b]=[3{,}140625,3{,}14453125].
m_9=\dfrac{3{,}140625+3{,}14453125}{2}=3{,}142578125.
\sin 3{,}142578125 \approx -0{,}0009854714<0.
Raiz em [3{,}140625,3{,}142578125]. Novo intervalo: [3{,}140625,3{,}142578125].

Passo 14

Iteração 10: [a,b]=[3{,}140625,3{,}142578125].
m_{10}=\dfrac{3{,}140625+3{,}142578125}{2}=3{,}1416015625.
\sin 3{,}1416015625 \approx -0{,}000008908910207<0.
Raiz em [3{,}140625,3{,}1416015625]. Novo intervalo: [3{,}140625,3{,}1416015625].

Passo 15

Iteração 11: [a,b]=[3{,}140625,3{,}1416015625].
m_{11}=\dfrac{3{,}140625+3{,}1416015625}{2}=3{,}14111328125.
\sin 3{,}14111328125 \approx 0{,}00047937234>0.
Raiz em [3{,}14111328125,3{,}1416015625]. Novo intervalo: [3{,}14111328125,3{,}1416015625].

Passo 16

Iteração 12: [a,b]=[3{,}14111328125,3{,}1416015625].
m_{12}=\dfrac{3{,}14111328125+3{,}1416015625}{2}=3{,}141357421875.
\sin 3{,}141357421875 \approx 0{,}0002352317>0.
Raiz em [3{,}141357421875,3{,}1416015625]. Novo intervalo: [3{,}141357421875,3{,}1416015625].

Passo 17

Iteração 13: [a,b]=[3{,}141357421875,3{,}1416015625].
m_{13}=\dfrac{3{,}141357421875+3{,}1416015625}{2}=3{,}1414794921875.
\sin 3{,}1414794921875 \approx 0{,}0001131614>0.
Raiz em [3{,}1414794921875,3{,}1416015625]. Novo intervalo: [3{,}1414794921875,3{,}1416015625].

Passo 18

Iteração 14: [a,b]=[3{,}1414794921875,3{,}1416015625].
m_{14}=\dfrac{3{,}1414794921875+3{,}1416015625}{2}=3{,}14154052734375.
\sin 3{,}14154052734375 \approx 0{,}00005212625>0.
Raiz em [3{,}14154052734375,3{,}1416015625]. Novo intervalo: [3{,}14154052734375,3{,}1416015625].

Passo 19

Iteração 15: [a,b]=[3{,}14154052734375,3{,}1416015625].
m_{15}=\dfrac{3{,}14154052734375+3{,}1416015625}{2}=3{,}141571044921875.
\sin 3{,}141571044921875 \approx 0{,}000021608668>0.
Raiz em [3{,}141571044921875,3{,}1416015625]. Novo intervalo: [3{,}141571044921875,3{,}1416015625].

Passo 20

Iteração 16: [a,b]=[3{,}141571044921875,3{,}1416015625].
m_{16}=\dfrac{3{,}141571044921875+3{,}1416015625}{2}=3{,}1415863037109375.
\sin 3{,}1415863037109375 \approx 0{,}000006349878856>0.
Como \sin m_{16}>0 e \sin 3{,}1416015625<0, o novo (e final, após 16 iterações) intervalo é
[a_{16},b_{16}]=[3{,}1415863037109375,\;3{,}1416015625].

Passo 21

Cálculo do ponto médio final e verificação do erro:
O ponto médio do intervalo final é
c = \frac{a_{16}+b_{16}}{2} = \frac{3{,}1415863037109375 + 3{,}1416015625}{2} = 3{,}14159393310546875.
O comprimento do intervalo final é b_{16}-a_{16}= \dfrac{1}{2^{16}} \approx 1{,}52587890625\times 10^{-5}, então o erro máximo do ponto médio é metade disso:
\text{erro} \le \frac{b_{16}-a_{16}}{2} = \frac{1}{2^{17}} \approx 7{,}62939453125\times 10^{-6} < 10^{-5}.
Portanto a aproximação c=3{,}14159393310546875 tem a precisão requerida.

Resposta

3{,}14159393310546875

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