Utilizando o processo de isolamento de raízes encontre o(s) intervalo(s) que contenham 1 raiz das funções abaixo:
\frac{x}{2}-\tan x;

Passo 1

O enunciado pede: “Utilizando o processo de isolamento de raízes encontre o(s) intervalo(s) que contenham 1 raiz” para a função \frac{x}{2}-\tan x.
Informações dadas e o que precisamos identificar:
\quad - A função considerada é f(x)=\dfrac{x}{2}-\tan x.
\quad - Devemos indicar intervalos que contenham exatamente uma raiz de f.
\quad - Note que \tan x tem descontinuidades em pontos onde \cos x=0, isto é, em x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}. Esses pontos dividem a reta em intervalos onde f é contínua.
Não começo a resolver aqui, apenas identifiquei o pedido e os dados relevantes.

Passo 2

Definimos a função explicitamente e seu domínio local onde vamos procurar raízes:
f(x)=\frac{x}{2}-\tan x.
O domínio natural para análise por partes é cada intervalo aberto entre as assíntotas de \tan x:
\left(k\pi-\frac{\pi}{2},\;k\pi+\frac{\pi}{2}\right),\qquad k\in\mathbb{Z},
pois em cada um desses intervalos \tan x (e assim f) é contínua. Vou trabalhar em um intervalo genérico desse tipo e depois generalizar.

Passo 3

Comportamento de f próximo às extremidades de um intervalo genérico \left(k\pi-\dfrac{\pi}{2},k\pi+\dfrac{\pi}{2}\right).
Propriedade conhecida de \tan x: quando x se aproxima da esquerda de \dfrac{\pi}{2}+k\pi temos \tan x\to +\infty; quando x se aproxima da direita de -\dfrac{\pi}{2}+k\pi temos \tan x\to -\infty. Portanto, para o intervalo escolhido:
\lim_{x\to\left(k\pi-\frac{\pi}{2}\right)^+}\tan x=-\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to\left(k\pi+\frac{\pi}{2}\right)^-}\tan x=+\infty.
Substituindo em f(x)=\dfrac{x}{2}-\tan x (o termo \dfrac{x}{2} é finito nos extremos), obtemos:
\lim_{x\to\left(k\pi-\frac{\pi}{2}\right)^+}f(x)=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to\left(k\pi+\frac{\pi}{2}\right)^-}f(x)=-\infty.
Ou seja, f toma sinais opostos (vai de muito positivo para muito negativo) ao atravessar o intervalo.

Passo 4

Aplicando o Teorema do Valor Intermediário (TVI): se uma função é contínua num intervalo e assume valores com sinais opostos nas extremidades desse intervalo, então existe pelo menos um ponto dentro do intervalo onde a função é zero.
Como em cada intervalo \left(k\pi-\dfrac{\pi}{2},k\pi+\dfrac{\pi}{2}\right) a função f é contínua e tem limites com sinais opostos nas extremidades (vemos no passo anterior), concluímos que em cada um desses intervalos existe pelo menos uma raiz de f.
Explicação rápida do TVI para você lembrar: é a ferramenta clássica para “isolar raízes” — quando a função é contínua e muda de sinal, ali tem raiz. É o passo de “achar um intervalo com mudança de sinal”.

Passo 5

Agora precisamos garantir que há exatamente uma raiz por intervalo (não várias). Para isso vamos estudar a monotonicidade de f calculando a derivada.
Calculemos f'(x):
f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{d}{dx}(\tan x)=\frac{1}{2}-\operatorname{sec}^2 x.
Observação sobre \operatorname{sec}^2 x: \operatorname{sec}^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x} e, para todo x onde está definido, \cos^2 x\le 1, então \operatorname{sec}^2 x\ge 1. Portanto
f'(x)=\frac{1}{2}-\operatorname{sec}^2 x \le \frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}<0
para todo x no domínio de f. Assim f'(x)<0 em cada intervalo de continuidade, isto é, f é estritamente decrescente em cada intervalo \left(k\pi-\dfrac{\pi}{2},k\pi+\dfrac{\pi}{2}\right).

Passo 6

Conclusão sobre unicidade da raiz em cada intervalo: uma função estritamente decrescente numa intervalo contínuo só pode cruzar o eixo y=0 uma única vez (se cruzar). Como já demonstramos pelo TVI que ela cruza pelo menos uma vez em cada intervalo, a monotonicidade garante que é exatamente uma vez. Portanto, em cada intervalo \left(k\pi-\dfrac{\pi}{2},k\pi+\dfrac{\pi}{2}\right) existe exatamente uma raiz de f.
Ressalva didática: os pontos x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi não pertencem ao domínio, por isso trabalhamos com intervalos abertos; as raízes não podem estar nesses pontos pois \tan é indefinido ali.

Passo 7

Interpretação prática / como usar isso na prova: para isolar raízes você pode escrever que entre duas assíntotas consecutivas de \tan (isto é, entre k\pi-\dfrac{\pi}{2} e k\pi+\dfrac{\pi}{2}) a função muda de +\infty para -\infty, portanto há uma raiz por TVI. Em seguida, mostrando f'<0 você garante que não há mais de uma raiz nesse intervalo. Assim cada intervalo \left(k\pi-\dfrac{\pi}{2},k\pi+\dfrac{\pi}{2}\right) isola exatamente uma raiz — é a resposta padrão e elegante.

Resposta

Para todo k\in\mathbb{Z} existe exatamente uma raiz em \displaystyle\left(k\pi-\frac{\pi}{2},\;k\pi+\frac{\pi}{2}\right).

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