Utilizando o processo de isolamento de raízes encontre o(s) intervalo(s) que contenham 1 raiz das funções abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede: “Utilizando o processo de isolamento de raízes encontre o(s) intervalo(s) que contenham 1 raiz” para a função
.
Informações dadas e o que precisamos identificar:
- A função considerada é
.
- Devemos indicar intervalos que contenham exatamente uma raiz de
.
- Note que
tem descontinuidades em pontos onde
, isto é, em
,
. Esses pontos dividem a reta em intervalos onde
é contínua.
Não começo a resolver aqui, apenas identifiquei o pedido e os dados relevantes.
Informações dadas e o que precisamos identificar:
Não começo a resolver aqui, apenas identifiquei o pedido e os dados relevantes.
Passo 2
Definimos a função explicitamente e seu domínio local onde vamos procurar raízes:
O domínio natural para análise por partes é cada intervalo aberto entre as assíntotas de
:
pois em cada um desses intervalos
(e assim
) é contínua. Vou trabalhar em um intervalo genérico desse tipo e depois generalizar.
Passo 3
Comportamento de
próximo às extremidades de um intervalo genérico
.
Propriedade conhecida de : quando
se aproxima da esquerda de
temos
; quando
se aproxima da direita de
temos
. Portanto, para o intervalo escolhido:
Propriedade conhecida de
Substituindo em
(o termo
é finito nos extremos), obtemos:
Ou seja,
toma sinais opostos (vai de muito positivo para muito negativo) ao atravessar o intervalo.
Passo 4
Aplicando o Teorema do Valor Intermediário (TVI): se uma função é contínua num intervalo e assume valores com sinais opostos nas extremidades desse intervalo, então existe pelo menos um ponto dentro do intervalo onde a função é zero.
Como em cada intervalo a função
é contínua e tem limites com sinais opostos nas extremidades (vemos no passo anterior), concluímos que em cada um desses intervalos existe pelo menos uma raiz de
.
Como em cada intervalo
Explicação rápida do TVI para você lembrar: é a ferramenta clássica para “isolar raízes” — quando a função é contínua e muda de sinal, ali tem raiz. É o passo de “achar um intervalo com mudança de sinal”.
Passo 5
Agora precisamos garantir que há exatamente uma raiz por intervalo (não várias). Para isso vamos estudar a monotonicidade de
calculando a derivada.
Calculemos :
Calculemos
Observação sobre
:
e, para todo
onde está definido,
, então
. Portanto
para todo
no domínio de
. Assim
em cada intervalo de continuidade, isto é,
é estritamente decrescente em cada intervalo
.
Passo 6
Conclusão sobre unicidade da raiz em cada intervalo: uma função estritamente decrescente numa intervalo contínuo só pode cruzar o eixo
uma única vez (se cruzar). Como já demonstramos pelo TVI que ela cruza pelo menos uma vez em cada intervalo, a monotonicidade garante que é exatamente uma vez. Portanto, em cada intervalo
existe exatamente uma raiz de
.
Ressalva didática: os pontos
não pertencem ao domínio, por isso trabalhamos com intervalos abertos; as raízes não podem estar nesses pontos pois
é indefinido ali.
Passo 7
Interpretação prática / como usar isso na prova: para isolar raízes você pode escrever que entre duas assíntotas consecutivas de
(isto é, entre
e
) a função muda de
para
, portanto há uma raiz por TVI. Em seguida, mostrando
você garante que não há mais de uma raiz nesse intervalo. Assim cada intervalo
isola exatamente uma raiz — é a resposta padrão e elegante.
Resposta
Para todo
existe exatamente uma raiz em
.