Suponha que o desvio da medida das peças produzidas por uma máquina em relação à norma especificada pelo mercado é uma variável aleatória X com a seguinte função densidade de probabilidade
fX(x)=lll 1+k+x & , & -1 <= x<0 1+k-x & , & 0 <= x<1 0 & , & restantes valores de x
Calcule o valor de k.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado está pedindo. A gente tem o desvio fX(x)= 1+k+x, & -1<= x<0, 1+k-x, & 0<= x<1, 0, & caso contrário de uma máquina, com densidade de probabilidade dada por
integral-infty^infty fX(x),dx = 1 á
Isso faz parte de Teoria de Probabilidade, mais especificamente de variáveis aleatórias contínuas.
O que precisamos usar? Simples: para qualquer densidade de probabilidade , a área total sob a curva tem que ser 1. Ou seja,
O que vamos fazer: dividir a integral em duas partes (de a e de a ), somar e achar .

Passo 2

Primeiro, escrevemos a igualdade que garante a normalização da densidade:
integral-infty^infty fX(x),dx = integral-1^0 l(1+k+xr),dx + integral0^1 l(1+k - xr),dx = 1
Aqui dividimos a integral exatamente onde a fórmula da densidade muda de expressão.

Passo 3

Agora, calculamos cada integral separadamente.
  1. Integral de integral-1^0(1+k+x),dx = l[(1+k)x + tfracx^22r]-1^0 = l((1+k)cdot0 + 0r) - l((1+k)(-1) + tfrac(-1)^22r) a 0 - l(-1-k + tfrac12r) = 1 + k - tfrac12 = k + tfrac12 de :
    • a parte ,
    • a parte .
      Avaliando de até :
    Isso dá

Passo 4

  1. Integral de integral0^1(1+k - x),dx = l[(1+k)x - tfracx^22r]0^1 = l((1+k)cdot1 - tfrac12r) - l(0 - 0r) = 1 + k - tfrac12 = k + tfrac12 a de :
    • a parte ,
    • a parte .
      Avaliando de até :

Passo 5

Agora somamos as duas partes e igualamos a 1:
underbracel(k + tfrac12r)de -1 a 0 + underbracel(k + tfrac12r)de 0 a 1 = 1 Longrightarrow 2k + 1 = 1 Longrightarrow k = 0

Resposta

.

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