O tempo de funcionamento sem avarias (expresso em dias) de um determinado equipamento, tem a seguinte função densidade de probabilidade:
f(t)= 0 & , t<0 0.5 e^-0.5 t & , t >= 0
Determine a função de distribuição, F(t).

Passo 1

Beleza, o problema diz que o “tempo de funcionamento sem avarias” segue uma densidade de probabilidade dada por
f(t)= 0, & t<0, 0.5,e^-0.5t, & t>=0
Isso é um exemplo clássico de distribuição Exponencial. O que a gente quer achar é a função de distribuição acumulada (CDF), normalmente chamada de F(t)=P(T<= t)=integral-infty^t f(u),du , que é basicamente
Pra resolver, vamos precisar lembrar como se faz a integral de uma exponencial e montar o resultado em “pedaços” (para e para ).

Passo 2

Primeiro, por definição de CDF:
  • Se F(t)=integral-infty^t f(u),du = 0 , a gente integra de até , mas a densidade é zero antes de zero. Então imediatamente

Passo 3

Agora, para F(t) =integral-infty^t f(u),du =integral0^t 0.5,e^-0.5u,du , a integral vai de integral 0.5,e^-0.5u,du até integral 0.5,e^-0.5u,du =0.5integral e^-0.5u,du =0.5l(e^-0.5u-0.5r) =-,e^-0.5u , mas só contribui o pedaço de integral0^t 0.5,e^-0.5u,du =l[-e^-0.5ur]0^t =l(-e^-0.5tr)-l(-e^0r) =-e^-0.5t+1 =1-e^-0.5t até . Então
A gente precisa calcular
Lembra que a integral de é . Aqui , então
Aí avaliamos entre e :

Resposta

Juntando tudo, a função de distribuição acumulada é
F(t)= 0, & t<0, 1 - e^-0.5t, & t>=0

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