Suponha que em um dia de tempestade, o vento com velocidade 94 \mathrm{~km} / \mathrm{h} sopre sobre o telhado de uma casa com área de 102 \mathrm{~m}^{2}. Qual a massa mínima do telhado para evitar que ele se solte? Considere a densidade do ar igual a 1,2 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3} e que a aceleração da gravidade seja igual a 9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
\bigcirc a. 8515 kg
\bigcirc b. 17031 kg
\bigcirc c. 2838 kg
\bigcirc d. 5677 kg
\bigcirc e. 4258 kg

Passo 1

O enunciado pede a massa mínima do telhado para que ele não seja arrancado pelo vento. Dados fornecidos:
  • velocidade do vento: 94\\ \mathrm{km/h},
  • área do telhado: 102\\ \mathrm{m}^{2},
  • densidade do ar: 1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}},
  • gravidade: 9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    Queremos encontrar a massa mínima m tal que o peso m g seja pelo menos igual à força aerodinâmica devida ao vento sobre o telhado.

Passo 2

Ideia física e fórmula que vamos usar. O vento exerce uma pressão dinâmica sobre a superfície dada (pressão de impacto). Uma aproximação comum é usar a pressão dinâmica
p = \frac{1}{2}\rho v^{2},
onde:
  • p é a pressão dinâmica (em pascal, \mathrm{Pa}=\mathrm{N/m^{2}}),
  • \rho é a densidade do fluido (aqui ar) em \mathrm{kg/m^{3}},
  • v é a velocidade do vento em \mathrm{m/s}.
    A força total sobre o telhado é F = p\cdot A onde A é a área. Para o telhado não se soltar precisamos que m g \ge F. Assim a massa mínima é
m = \frac{F}{g} = \frac{p A}{g} = \frac{\tfrac{1}{2}\rho v^{2} A}{g}.
Vou agora aplicar essa fórmula passo a passo. Cada variável já foi definida acima.

Passo 3

Converter a velocidade para \mathrm{m/s}. Fazemos:
v = 94\\ \mathrm{km/h}\times\frac{1000\\ \mathrm{m}}{1\\ \mathrm{km}}\times\frac{1\\ \mathrm{h}}{3600\\ \mathrm{s}} = 94\cdot\frac{5}{18} = \frac{235}{9}\\ \mathrm{m/s}\approx 26{,}111\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular v^{2}. Usando o valor exato em fração:
v^{2}=\left(\frac{235}{9}\right)^{2}=\frac{55225}{81}\approx 681{,}17284\\ \mathrm{(m^{2}/s^{2})}.

Passo 5

Calcular a pressão dinâmica p pela fórmula p=\tfrac{1}{2}\rho v^{2}. Substituindo \rho=1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}}:
p=\frac{1}{2}\cdot 1{,}2\cdot 681{,}17284 \approx 0{,}6\cdot 681{,}17284 \approx 408{,}70370\\ \mathrm{Pa}.
Explicação curta: 1\\ \mathrm{Pa}=\mathrm{N/m^{2}}, então essa pressão multiplicada pela área dá força em newtons.

Passo 6

Calcular a força F sobre o telhado: F=pA. Com A=102\\ \mathrm{m^{2}}:
F \approx 408{,}70370\cdot 102 \approx 41\,687{,}7778\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Calcular a massa mínima m=F/g com g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}:
m=\frac{41\,687{,}7778}{9{,}8}\approx 4\,254{,}0651\\ \mathrm{kg}.
Arredondando para comparar com as alternativas, obtemos aproximadamente 4\,254\\ \mathrm{kg}. A alternativa mais próxima é a letra e com 4\,258\\ \mathrm{kg}.

Resposta

e. 4258 kg

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