Suponha que
é diferenciável. Se
e
, então:
Passo 1
A questão pede para mostrar que, ao trocar as variáveis Cartesianas
por polares
via
, a soma das segundas derivadas
se transforma em
. Vamos usar regra da cadeia e derivação sucessiva.
Passo 2
Para começar, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem de
em relação a
e
aplicando a regra da cadeia:
Agora precisamos das segundas derivadas em
Passo 3
Portanto chegamos à identidade desejada: a soma das segundas derivadas em
vira a combinação das derivadas em
com os fatores
e
.