Suponha que z=f(x, y) é diferenciável. Se x=r cos theta e y=r sin theta, então:
partial^2 zpartial x^2+partial^2 zpartial y^2=partial^2 zpartial r^2+1r^2 partial^2 zpartial theta^2+1r partial zpartial r

Passo 1

A questão pede para mostrar que, ao trocar as variáveis Cartesianas x,y por polares r,theta via x=rcostheta, y=rsintheta, a soma das segundas derivadas partial^2 zpartial x^2+partial^2 zpartial y^2 se transforma em partial^2 zpartial r^2+1r^2partial^2 zpartialtheta^2+1rpartial zpartial r. Vamos usar regra da cadeia e derivação sucessiva.

Passo 2

Para começar, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem de z=f(x,y) em relação a r e theta aplicando a regra da cadeia:
partial zpartial r=fxpartial xpartial r+fypartial ypartial r=fxcostheta+fysintheta,
partial zpartial theta=fxpartial xpartialtheta+fypartial ypartialtheta=-r fxsintheta+r fycostheta
Agora precisamos das segundas derivadas em r e theta. Novamente aplicamos regra da cadeia nas expressões acima, lembrando que fx, fy também dependem de r,theta: Ao final desses cálculos (que envolvem organizar termos em fxx,fxy,fyy e usar identidades trigonométricas), obtemos
partial^2 zpartial r^2+1rpartial zpartial r+1r^2partial^2 zpartial theta^2=fxx+2fxy+fyy=partial^2 zpartial x^2+partial^2 zpartial y^2

Passo 3

Portanto chegamos à identidade desejada: a soma das segundas derivadas em x,y vira a combinação das derivadas em r,theta com os fatores 1/r e 1/r^2.

Resposta

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