Suponha que um dispositivo elétrico tenha três lâmpadas na primeira linha e quatro lâmpadas na segunda linha. Seja X o número de lâmpadas na primeira linha que permanecem desligadas em dado momento t, e seja Y o número de lâmpadas na segunda linha que permanecem desligadas nesse mesmo tempo. Suponha que a função de probabilidade conjunta de X e Y seja como aparece na tabela a seguir:
\mathbf{X} \mathbf{Y}
\mathbf{0} \mathbf{1} \mathbf{2} \mathbf{3} \mathbf{4}
\mathbf{0} 0,08 0,07 0,06 0,01 0,01
\mathbf{1} 0,06 0,10 0,12 0,05 0,02
\mathbf{2} 0,05 0,06 0,09 0,04 0,03
\mathbf{3} 0,02 0,03 0,03 0,03 0,04
Determine cada uma das seguintes probabilidades:
P(X=2).

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade marginal de \,X quando \,X=2, ou seja, P(X=2).\n
Informações dadas (peguei os números da tabela do enunciado): as probabilidades conjuntas para a linha \,X=2 são, correspondendo a \,Y=0,1,2,3,4: \,0,05, \,0,06, \,0,09, \,0,04 e \,0,03.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (muito importante entender!): para obter a probabilidade marginal de uma variável discreta X a partir da função de probabilidade conjunta de (X,Y) somamos todas as probabilidades conjuntas em que X toma aquele valor, variando Y por todos os seus valores possíveis. Formalmente:
P(X=x)=\sum_{y} P(X=x,Y=y).
Aqui, P(X=x,Y=y) é a probabilidade conjunta de X valer x e Y valer y. A soma sobre y “elimina” Y e deixa só a probabilidade de X.

Passo 3

Aplicando a fórmula com x=2. Usando os valores da tabela (peguei cada termo da linha \,X=2) temos:
P(X=2)=P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)+P(X=2,Y=3)+P(X=2,Y=4).
Substituindo os números da tabela:
P(X=2)=0,05+0,06+0,09+0,04+0,03.
Agora somando passo a passo:
0,05+0,06=0,11,
0,11+0,09=0,20,
0,20+0,04=0,24,
0,24+0,03=0,27.

Passo 4

Cheque rápido de consistência (útil para prova): somando todas as entradas da tabela (todas as linhas) obtém-se 1,00, então a tabela é uma função de probabilidade conjunta válida. Isso dá confiança de que a margem calculada está correta.

Resposta

0,27

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