Suponha que um dispositivo elétrico tenha três lâmpadas na primeira linha e quatro lâmpadas na segunda linha. Seja X o número de lâmpadas na primeira linha que permanecem desligadas em dado momento t, e seja Y o número de lâmpadas na segunda linha que permanecem desligadas nesse mesmo tempo. Suponha que a função de probabilidade conjunta de X e Y seja como aparece na tabela a seguir:
\mathbf{X} \mathbf{Y}
\mathbf{0} \mathbf{1} \mathbf{2} \mathbf{3} \mathbf{4}
\mathbf{0} 0,08 0,07 0,06 0,01 0,01
\mathbf{1} 0,06 0,10 0,12 0,05 0,02
\mathbf{2} 0,05 0,06 0,09 0,04 0,03
\mathbf{3} 0,02 0,03 0,03 0,03 0,04
Determine cada uma das seguintes probabilidades:
P(Y \geq 2).

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dá uma tabela com a função de probabilidade conjunta de X e Y. Eu peguei os valores diretamente da tabela do enunciado. Os valores (linhas para X=0,1,2,3 e colunas para Y=0,1,2,3,4) são os seguintes:
Linha X=0: \,0,08,\;0,07,\;0,06,\;0,01,\;0,01\n
Linha X=1: \,0,06,\;0,10,\;0,12,\;0,05,\;0,02\n
Linha X=2: \,0,05,\;0,06,\;0,09,\;0,04,\;0,03\n
Linha X=3: \,0,02,\;0,03,\;0,03,\;0,03,\;0,04\n
  • O que se pede: calcular P(Y \geq 2). Ou seja, a probabilidade de que o número de lâmpadas desligadas na segunda linha seja 2, 3 ou 4.

Passo 2

Conceito fundamental que vamos usar (explicadinho).
  • Temos uma função de probabilidade conjunta p_{X,Y}(x,y)=P(X=x,Y=y).
  • A distribuição marginal de Y, ou seja p_Y(y)=P(Y=y), obtém-se somando a função conjunta sobre todas as possíveis valores de X:
p_Y(y)=\sum_{x} p_{X,Y}(x,y).
Aqui a soma em x é sobre \{0,1,2,3\}, porque X varia nesses quatro valores. Isso se chama “marginalizar” (somar a joint sobre a outra variável).

Passo 3

Como expressar P(Y\ge 2) usando marginais.
  • Pelo que queremos,
P(Y\ge 2)=\sum_{y=2}^{4} P(Y=y)=\sum_{y=2}^{4} p_Y(y).
  • Usando a relação da marginal em termos da conjunta,
P(Y\ge 2)=\sum_{y=2}^{4}\sum_{x=0}^{3} p_{X,Y}(x,y).
Ou seja, somamos todas as entradas da tabela correspondentes às colunas Y=2,3,4.

Passo 4

Calcular p_Y(2)=P(Y=2) somando a coluna Y=2 (peguei os valores da tabela).
  • Valores na coluna Y=2: para X=0 é \,0,06; X=1 é \,0,12; X=2 é \,0,09; X=3 é \,0,03.
  • Somando:
p_Y(2)=0{,}06+0{,}12+0{,}09+0{,}03.
  • Mantendo como valor parcial (não declaro o total final aqui, vou usar na soma final): o resultado dessa soma é \,0{,}30.

Passo 5

Calcular p_Y(3)=P(Y=3) somando a coluna Y=3 (peguei os valores da tabela).
  • Valores na coluna Y=3: para X=0 é \,0,01; X=1 é \,0,05; X=2 é \,0,04; X=3 é \,0,03.
  • Somando:
p_Y(3)=0{,}01+0{,}05+0{,}04+0{,}03.
  • O resultado dessa soma é \,0{,}13.

Passo 6

Calcular p_Y(4)=P(Y=4) somando a coluna Y=4 (peguei os valores da tabela).
  • Valores na coluna Y=4: para X=0 é \,0,01; X=1 é \,0,02; X=2 é \,0,03; X=3 é \,0,04.
  • Somando:
p_Y(4)=0{,}01+0{,}02+0{,}03+0{,}04.
  • O resultado dessa soma é \,0{,}10.

Passo 7

Escrever P(Y\ge 2) em termos das marginais que calculamos (aqui deixo em forma de soma das partes que já calculei):
P(Y\ge 2)=p_Y(2)+p_Y(3)+p_Y(4)=0{,}30+0{,}13+0{,}10.

Passo 8

Checagem rápida de consistência (opcional e bom hábito): somando todas as entradas da tabela obtém-se 1{,}00, então a tabela é uma função de probabilidade válida. Eu somei as quatro linhas: 0{,}23+0{,}35+0{,}27+0{,}15=1{,}00. Isso aumenta a confiança no resultado.

Resposta

0,53

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