Suponha que um dispositivo elétrico tenha três lâmpadas na primeira linha e quatro lâmpadas na segunda linha. Seja
o número de lâmpadas na primeira linha que permanecem desligadas em dado momento
, e seja
o número de lâmpadas na segunda linha que permanecem desligadas nesse mesmo tempo. Suponha que a função de probabilidade conjunta de
e
seja como aparece na tabela a seguir:
0,08
0,07
0,06
0,01
0,01
0,06
0,10
0,12
0,05
0,02
0,05
0,06
0,09
0,04
0,03
0,02
0,03
0,03
0,03
0,04
Determine cada uma das seguintes probabilidades:
.
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,08 | 0,07 | 0,06 | 0,01 | 0,01 |
|
|
0,06 | 0,10 | 0,12 | 0,05 | 0,02 |
|
|
0,05 | 0,06 | 0,09 | 0,04 | 0,03 |
|
|
0,02 | 0,03 | 0,03 | 0,03 | 0,04 |
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dá uma tabela com a função de probabilidade conjunta de
e . Eu peguei os valores diretamente da tabela do enunciado. Os valores (linhas para e colunas para ) são os seguintes:
Linha
:
\n
Linha :
\n
Linha :
\n
Linha :
\n
Linha
Linha
Linha
- O que se pede: calcular
. Ou seja, a probabilidade de que o número de lâmpadas desligadas na segunda linha seja 2, 3 ou 4.
Passo 2
Conceito fundamental que vamos usar (explicadinho).
- Temos uma função de probabilidade conjunta
. - A distribuição marginal de
, ou seja , obtém-se somando a função conjunta sobre todas as possíveis valores de :
Aqui a soma em
é sobre
, porque
varia nesses quatro valores. Isso se chama “marginalizar” (somar a joint sobre a outra variável).
Passo 3
Como expressar
usando marginais.
- Pelo que queremos,
- Usando a relação da marginal em termos da conjunta,
Ou seja, somamos todas as entradas da tabela correspondentes às colunas
.
Passo 4
Calcular
somando a coluna
(peguei os valores da tabela).
- Valores na coluna
: para é ; é ; é ; é . - Somando:
- Mantendo como valor parcial (não declaro o total final aqui, vou usar na soma final): o resultado dessa soma é
.
Passo 5
Calcular
somando a coluna
(peguei os valores da tabela).
- Valores na coluna
: para é ; é ; é ; é . - Somando:
- O resultado dessa soma é
.
Passo 6
Calcular
somando a coluna
(peguei os valores da tabela).
- Valores na coluna
: para é ; é ; é ; é . - Somando:
- O resultado dessa soma é
.
Passo 7
Escrever
em termos das marginais que calculamos (aqui deixo em forma de soma das partes que já calculei):
Passo 8
Checagem rápida de consistência (opcional e bom hábito): somando todas as entradas da tabela obtém-se
, então a tabela é uma função de probabilidade válida. Eu somei as quatro linhas:
. Isso aumenta a confiança no resultado.