Suponha que dois tanques, 1 e 2 , cada um com uma grande abertura na parte de cima, contenham dois líquidos diferentes. Um pequeno furo é feito no lado de cada tanque, a uma mesma profundidade \boldsymbol{h} abaixo da superfície do líquido, mas o furo do tanque 1 tem a metade da área de seção transversal do furo no tanque 2. (a) Qual é a razão entre as vazões dos dois tanques? (b) Em um certo instante, o líquido do tanque 1 está a 12 cm acima do furo. A que altura acima do furo deve-se colocar o líquido do tanque 2 para que nesse instante os tanques tenham vazões iguais?

Passo 1

O enunciado apresenta dois tanques abertos, cada um com um furo na lateral a uma mesma profundidade abaixo da superfície do líquido. No tanque 1 o furo tem área de seção transversal A_{1} e, no tanque 2, o furo tem área A_{2}=2A_{1}.
Conteúdo: vamos usar o teorema de Bernoulli e a lei de Torricelli para relacionar a velocidade de saída com a altura do líquido e depois Q=A\,v para obter as vazões.

Passo 2

Aplicando Bernoulli entre a superfície livre (onde a velocidade é desprezível) e o furo, temos
p_{\text{atm}}+\rho g h = p_{\text{atm}} + \tfrac12\rho v^2
Logo a velocidade de saída vale
v = \sqrt{2\,g\,h}\,,
independente da densidade do líquido.

Passo 3

A vazão de cada furo é
Q_{1} = A_{1}\,v_{1} = A_{1}\,\sqrt{2\,g\,h_{1}} \quad\text{e}\quad Q_{2} = A_{2}\,v_{2} = A_{2}\,\sqrt{2\,g\,h_{2}}.

Passo 4

(a) Para a situação inicial temos h_{1}=h_{2}=h, então v_{1}=v_{2} e
\frac{Q_{1}}{Q_{2}} = \frac{A_{1}}{A_{2}}\cdot\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{1}{2}.

Passo 5

(b) Queremos Q_{1}=Q_{2} num instante em que h_{1}=12\text{ cm}. Escrevendo
A_{1}\,\sqrt{2g\,h_{1}} = A_{2}\,\sqrt{2g\,h_{2}},
cancelam-se 2g e fica
\sqrt{h_{2}} = \frac{A_{1}}{A_{2}}\;\sqrt{h_{1}} = \tfrac12\,\sqrt{12\text{ cm}} \;\Longrightarrow\; h_{2}=\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{2}\,12\text{ cm}=3\text{ cm}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{Q_{1}}{Q_{2}}=\tfrac12.
(b) h_{2}=3\text{ cm}.

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