Em uma colisão de alta energia entre uma partícula dos raios cósmicos de alta energia com átomos de oxigênio e nitrogênio da parte superior da atmosfera terrestre, 120 km acima do nível do mar, é criado um múon. Ele possui uma energia total
e está se movendo verticalmente para baixo. No referencial de repouso do múon o seu tempo de vida médio é
. Sabendo que a energia de repouso do múon é 105 MeV , do ponto de vista de um observador terrestre, qual a distância máxima que eu deveria colocar um detector de múon para identificá-lo? Comente.
Passo 1
O enunciado fala de um múon criado a 120 km de altitude, com energia total
e energia de repouso
. No referencial do múon seu tempo de vida médio é
. Do ponto de vista terrestre, queremos saber até que distância (na vertical) esse múon consegue viajar antes de decair, usando o conceito de dilatação temporal da Relatividade Especial.
Passo 2
Na Relatividade Especial, o fator de Lorentz é
Substituindo,
Passo 3
O tempo de vida médio dilatado no referencial terrestre é
Passo 4
A velocidade do múon é dada por
Como
,
Passo 5
A distância máxima percorrida antes de decair é
Tomando
,
Passo 6
O resultado mostra que, mesmo com dilatação do tempo, esse múon só viaja cerca de 13 km antes de decair. Como foi criado a 120 km de altitude, ele não alcançaria o solo. Para detectá-lo no solo, seria preciso um múon muito mais energético ou então ele ter de ser gerado bem abaixo de 120 km.
Resposta
A distância máxima é aproximadamente
.