Em uma colisão de alta energia entre uma partícula dos raios cósmicos de alta energia com átomos de oxigênio e nitrogênio da parte superior da atmosfera terrestre, 120 km acima do nível do mar, é criado um múon. Ele possui uma energia total E=2,1 \times 10^{3} \mathrm{MeV} e está se movendo verticalmente para baixo. No referencial de repouso do múon o seu tempo de vida médio é 2,2 \times 10^{-6} \mathrm{~s}. Sabendo que a energia de repouso do múon é 105 MeV , do ponto de vista de um observador terrestre, qual a distância máxima que eu deveria colocar um detector de múon para identificá-lo? Comente.

Passo 1

O enunciado fala de um múon criado a 120 km de altitude, com energia total E=2{,}1\times10^{3}\,\mathrm{MeV} e energia de repouso E_{0}=105\,\mathrm{MeV}. No referencial do múon seu tempo de vida médio é \tau_{0}=2{,}2\times10^{-6}\,\mathrm{s}. Do ponto de vista terrestre, queremos saber até que distância (na vertical) esse múon consegue viajar antes de decair, usando o conceito de dilatação temporal da Relatividade Especial.

Passo 2

Na Relatividade Especial, o fator de Lorentz é
\gamma = \frac{E}{E_{0}}.
Substituindo,
\gamma = \frac{2{,}1\times10^{3}}{105} = 20.

Passo 3

O tempo de vida médio dilatado no referencial terrestre é
\tau = \gamma\,\tau_{0} = 20 \times 2{,}2\times10^{-6}\,\mathrm{s} = 4{,}4\times10^{-5}\,\mathrm{s}.

Passo 4

A velocidade do múon é dada por
\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^{2}}} \quad\text{e}\quad v = \beta\,c.
Como \gamma=20,
\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{400}} \approx 0{,}9987 \quad\Longrightarrow\quad v \approx 0{,}9987\,c.

Passo 5

A distância máxima percorrida antes de decair é
d = v\,\tau \approx 0{,}9987\,c \times 4{,}4\times10^{-5}\,\mathrm{s}.
Tomando c=3\times10^{8}\,\mathrm{m/s},
d \approx 0{,}9987 \times 3\times10^{8}\times4{,}4\times10^{-5}\,\mathrm{m} \approx 1{,}32\times10^{4}\,\mathrm{m} =13{,}2\,\mathrm{km}.

Passo 6

O resultado mostra que, mesmo com dilatação do tempo, esse múon só viaja cerca de 13 km antes de decair. Como foi criado a 120 km de altitude, ele não alcançaria o solo. Para detectá-lo no solo, seria preciso um múon muito mais energético ou então ele ter de ser gerado bem abaixo de 120 km.

Resposta

A distância máxima é aproximadamente 13{,}2\\ \mathrm{km}.

Exercícios relacionados