Uma máquina enche pacotes cujos pesos seguem uma distribuição Normal com média 705 g e desvio padrão 12 g . Se uma amostra aleatória de 14 pacotes for selecionada, calcule a probabilidade de que o peso médio dos pacotes das amostras seja maior que 701.4 g . Utilize 4 casas decimais.
Passo 1
Vamos lá! Temos uma máquina que enche pacotes com pesos que seguem uma distribuição Normal, com média de 705 g e desvio padrão de 12 g. Queremos descobrir qual a probabilidade de que, ao selecionar aleatoriamente 14 pacotes, a média dos pesos desses pacotes seja maior que 701,4 g. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição Normal, média amostral e cálculo de probabilidades.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a distribuição da média dos pesos dos pacotes. Quando temos uma amostra de tamanho $ n $ de uma população com distribuição Normal, a média amostral também segue uma distribuição Normal. A média dessa distribuição é igual à média da população ($ \mu
\sigma
n $).
Passo 3
Vamos calcular o desvio padrão da média amostral, conhecido como erro padrão ($ \sigma_{\bar{x}} $):
Passo 4
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a média amostral seja maior que 701,4 g. Para isso, calculamos o valor $ Z $ que representa quantos desvios padrão 701,4 g está da média:
Passo 5
Com o valor $ Z $ calculado, usamos a tabela da distribuição Normal padrão para encontrar a probabilidade correspondente. A tabela nos dá a probabilidade de uma observação ser menor que um determinado valor $ Z $. Queremos a probabilidade de ser maior que 701,4 g, que corresponde a $ 1 - P(Z \leq -1,1237) $.
Consultando a tabela ou usando uma calculadora de distribuição Normal, encontramos:
Portanto:
Resposta
A probabilidade de que o peso médio dos 14 pacotes seja maior que 701,4 g é de aproximadamente 0,8700.