Suponha que a duração da vida (em horas) de uma certa válvula seja uma variável aleatória contínua X com fdp f(x)=100 / x^2, para x>100, e zero para quaisquer outros valores de x.
(a) Qual será a probabilidade de que uma válvula dure menos de 200 horas, se soubermos que ela ainda está funcionando após 150 horas de serviço?
(b) Se três dessas válvulas forem instaladas em um conjunto, qual será a probabilidade de que exatamente uma delas tenha de ser substituida após 150 horas de serviço?
© Qual será o número máximo de válvulas que poderá ser colocado em um conjunto, de modo que exista uma probabilidade de 0,5 de que após 150 horas de serviço todas elas ainda estejam funcionando?

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é uma válvula que vive um tempo aleatório f(x)= 100x^2,& x>100, 0,&caso contrário (em horas) com densidade
á
O que a gente vai usar:
  • Integrar para achar a função de distribuição e a função de sobrevivência .
  • Probabilidade condicionada pra letra (a).
  • Distribuição binomial pra (b).
  • Logaritmos pra achar quantos itens na letra ©.

Passo 2

Primeiro a gente acha a CDF F(x)=integral100^x100t^2,dt =l[-100tr]100^x =-100x+1 =1-100x pra S(x)=1-F(x)=100x :
Então a sobrevivência é

Passo 3

Queremos
P(X<200mid X>150) =P(150150)
Calcula numerador e denominador:
  • P(X<200mid X>150) =0,16670,6667=0,25

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Passo 4

Três válvulas independentes. Chamamos “sucesso” o evento “precisar trocar” em 150 h, cuja probabilidade é
p=P(X<=150)=F(150)=1-100150= 13
Queremos exatamente 1 falha em 3, ou seja, binomial P(exatamente 1)=binom31l(13r)^1l(23r)^2 =3cdot13cdot49 =49approx0,4444 :

Passo 5

Se você coloca l(S(150)r)^n =l(23r)^n válvulas, a chance de TODAS sobreviverem 150 h é
l(23r)^n=0,5 Longrightarrow n=ln(0,5)ln(2/3)approx1,71
Quer isso = 0,5, então
Como tem que ser inteiro e máximo tal que a probabilidade seja pelo menos 0,5, o maior inteiro é .

Resposta

(a)
(b)
©

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