Calcule a taxa de juros efetiva mensal de um empréstimo que deve ser devolvido em 6 meses, para o qual pagou-se juros antecipadamente, correspondentes a 40% do total emprestado.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Você pegou um empréstimo que vence em 6 meses. Porém, na hora de liberar o dinheiro, já descontaram juros “antecipados” que correspondem a 40% do valor total que você tomou de empréstimo.
Conteúdo envolvido:
  • Noções de desconto de juros (juros descontados antecipadamente)
  • Taxa efetiva de juros em regime composto
    O que vamos precisar:
  1. Entender quanto você efetivamente recebeu no início (valor líquido).
  2. Calcular a taxa efetiva de 6 meses.
  3. Converter essa taxa semestral na taxa efetiva mensal.

Passo 2

Quanto você recebeu de fato?
Se o valor nominal do empréstimo for jurosantecipados = 0,40,L , o banco já reteve 40% de juros na hora, ou seja:
P = L - 0,40,L = 0,60,L
Logo, o que caiu no seu bolso (valor líquido) foi:

Passo 3

Taxa efetiva para os 6 meses
No final dos 6 meses você vai devolver o valor nominal 1 + i6 ;=;Valor finalValor recebido ;=;L0,60,L ;=;10,60 ;=;1,666ldots . Então, a taxa efetiva total i6 = 1,666ldots - 1 = 0,666ldots equiv 66,67% em 6 meses sobre o que você realmente recebeu é dada por:
Portanto:

Passo 4

Converter para taxa mensal efetiva
Supondo capitalização composta, a relação entre a taxa mensal (1 + i)^6 = 1 + i6 = 1,666ldots e a taxa de 6 meses 1 + i = l(1,666ldotsr)^tfrac16 Longrightarrow i = l(1,666ldotsr)^tfrac16 - 1 é:
Isolando :

Passo 5

Cálculo numérico
i = (1,6667)^1/6 - 1 approx e^ln 1,66676 - 1 approx e^0,08513 - 1 approx 0,0888 equiv 8,88% ;ao mês ê

Resposta

A taxa de juros efetiva mensal é, aproximadamente, 8,88% ao mês.

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