Suponha que entrevistamos 100 alunos e perguntamos em quais materias eles estavam inscritos. Obtivemos os seguintes valores:
47 alunos inscritos em matematica.
31 alunos inscritos em fisica.
11 alunos inscritos em estatistica.
20 alunos inscritos em matematica e fisica.
7 alunos inscritos em matematica e estatıstica.
6 alunos inscritos em fisica e estatistica.
5 alunos inscritos em matematica, fısica e estatıstica.
a) Selecionando um aluno ao acaso, qual e a probabilidade de ele estar inscrito somente em matematica?
b) Qual e a probabilidade de ele estar inscrito em matematica ou fisica?
c) Qual e a probabilidade de ele estar inscrito em pelo menos 1 materia?

Passo 1

Resumindo, temos uma pesquisa com 100 alunos e três conjuntos de inscrição: M para matemática, F para física e S para estatística, com as seguintes contagens:
|M|=47,\quad |F|=31,\quad |S|=11,
|M\cap F|=20,\quad |M\cap S|=7,\quad |F\cap S|=6,\quad |M\cap F\cap S|=5.
Vamos usar contagem em conjuntos e a regra de inclusão–exclusão para achar as probabilidades pedidas.

Passo 2

Para saber quantos alunos estão inscritos somente em matemática, contamos quem está em M mas não em F nem em S. Por inclusão–exclusão:
|M\setminus(F\cup S)| = |M| - |M\cap F| - |M\cap S| + |M\cap F\cap S|.
Substituindo:
|M\setminus(F\cup S)| = 47 - 20 - 7 + 5 = 25.
Como são 100 alunos no total,
P(\text{só matemática}) = \frac{25}{100} = 0,25.óá

Passo 3

Queremos a probabilidade de estar inscrito em matemática ou física, isto é em M\cup F. Pela fórmula:
|M\cup F| = |M| + |F| - |M\cap F| = 47 + 31 - 20 = 58.
Logo,
P(M\cup F) = \frac{58}{100} = 0,58.

Passo 4

Para a probabilidade de estar inscrito em pelo menos uma das três matérias, usamos a regra de inclusão–exclusão para três conjuntos:
P(M\cup F\cup S) = \frac{|M| + |F| + |S| - \bigl(|M\cap F|+|M\cap S|+|F\cap S|\bigr) + |M\cap F\cap S|}{100}.
Substituindo os números:
P(M\cup F\cup S) = \frac{47 + 31 + 11 - (20 + 7 + 6) + 5}{100} = \frac{61}{100} = 0,61.

Resposta

a) 0,25
b) 0,58
c) 0,61

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