- Desafio:
a) Mostre que
e use indução matemática para mostrar que
a) Mostre que
Passo 1
O enunciado está em Probabilidade e pede duas coisas: primeiro provar a fórmula de inclusão–exclusão para dois eventos,
e em seguida usar indução matemática para mostrar a desigualdade
Vamos começar provando a fórmula para dois eventos e depois fazer o passo de indução para estender ao caso de
eventos.
Passo 2
Para provar
observamos que podemos escrever
como união disjunta de
e da parte de
que não está em
. Definimos
Então
onde “
” indica união de conjuntos disjuntos.
Passo 3
Pela axioma da aditividade em conjuntos disjuntos,
Por outro lado,
se decompõe em
logo
Substituindo em
temos
que é a fórmula desejada.
Passo 4
Agora provamos por indução em
que
Base
:
logo a desigualdade vale (na verdade é igualdade).
Passo 5
Hipótese de indução: suponha que para algum
valha
Considere o caso
. Defina
Então
Passo 6
Aplicando a fórmula de dois conjuntos a
e
,
pois
. Usando a hipótese de indução
, obtemos
Isso completa o passo de indução.
Resposta
Prova completa:
(a) .
(b) Por indução,
(a)
(b) Por indução,