1. Desafio:
    a) Mostre que P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) e use indução matemática para mostrar que
P\left(\cup_{i=1}^{n} A_{i}\right) \leq \sum_{i=1}^{n} P\left(A_{i}\right)

Passo 1

O enunciado está em Probabilidade e pede duas coisas: primeiro provar a fórmula de inclusão–exclusão para dois eventos,
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B),
e em seguida usar indução matemática para mostrar a desigualdade
P\Bigl(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\Bigr)\le\sum_{i=1}^{n}P(A_i).
Vamos começar provando a fórmula para dois eventos e depois fazer o passo de indução para estender ao caso de n eventos.

Passo 2

Para provar
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B),
observamos que podemos escrever A\cup B como união disjunta de A e da parte de B que não está em A. Definimos
B\setminus A = \{\,\omega\in B\mid \omega\notin A\}.
Então
A\cup B = A \;\dot\cup\;(B\setminus A),
onde “ \dot\cup” indica união de conjuntos disjuntos.

Passo 3

Pela axioma da aditividade em conjuntos disjuntos,
P(A\cup B) = P(A)+P(B\setminus A).
Por outro lado, B se decompõe em
B = (B\cap A)\;\dot\cup\;(B\setminus A),
logo
P(B)=P(B\cap A)+P(B\setminus A) \quad\Longrightarrow\quad P(B\setminus A)=P(B)-P(B\cap A).
Substituindo em P(A\cup B) temos
P(A\cup B)=P(A)+\bigl[P(B)-P(A\cap B)\bigr] =P(A)+P(B)-P(A\cap B),
que é a fórmula desejada.

Passo 4

Agora provamos por indução em n que
P\Bigl(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\Bigr)\le\sum_{i=1}^{n}P(A_i).
Base n=1:
P\Bigl(\bigcup_{i=1}^{1}A_i\Bigr)=P(A_1)=\sum_{i=1}^1P(A_i),
logo a desigualdade vale (na verdade é igualdade).

Passo 5

Hipótese de indução: suponha que para algum n\ge1 valha
P\Bigl(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\Bigr)\le\sum_{i=1}^{n}P(A_i).
Considere o caso n+1. Defina
X = \bigcup_{i=1}^{n}A_i.
Então
\bigcup_{i=1}^{n+1}A_i = X\cup A_{n+1}.

Passo 6

Aplicando a fórmula de dois conjuntos a X e A_{n+1},
P(X\cup A_{n+1}) = P(X)+P(A_{n+1}) - P\bigl(X\cap A_{n+1}\bigr) \le P(X)+P(A_{n+1}),
pois P\bigl(X\cap A_{n+1}\bigr)\ge0. Usando a hipótese de indução P(X)\le\sum_{i=1}^{n}P(A_i), obtemos
P\Bigl(\bigcup_{i=1}^{n+1}A_i\Bigr) = P(X\cup A_{n+1}) \le \sum_{i=1}^{n}P(A_i) + P(A_{n+1}) = \sum_{i=1}^{n+1}P(A_i).
Isso completa o passo de indução.

Resposta

Prova completa:
(a) P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
(b) Por indução,
P\Bigl(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\Bigr)\le\sum_{i=1}^{n}P(A_i).

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