Suponha que a equação diferencial de primeira ordem
tenha uma família a um parâmetro de soluções e que
satisfaça as hipóteses do Teorema da Existência e Unicidade em alguma região retangular
do plano
. Discuta por que duas curvas integrais diferentes não podem se interceptar ou ser tangentes uma à outra em um ponto
em
.
Passo 1
O enunciado trata da equação diferencial de primeira ordem
cuja função
satisfaz as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade em um retângulo
no plano
. Isso garante que, dado um ponto
, existe uma única solução da EDO passando por esse ponto.
Passo 2
Suponha que duas curvas integrais diferentes
e
se intersectem em
. Isto é,
Ambas satisfazem a EDO e passam pelo mesmo ponto inicial. Pelo Teorema de Unicidade, a condição inicial
determina exatamente uma solução local. Logo, nas proximidades de
temos
, o que contradiz a hipótese de que são curvas diferentes.
Passo 3
Agora, suponha que
e
sejam simplesmente tangentes em
. Isso implica não só
mas também
Em outras palavras, ambas satisfazem o mesmo problema de valor inicial de primeira ordem. Pela Unicidade, a solução desse problema de valor inicial é única, de modo que
e
coincidem num entorno de
, novamente contradizendo a hipótese de serem diferentes.
Resposta
Duas curvas integrais distintas não podem nem se cruzar nem ser tangentes em
, pois ambos os casos levariam a duas soluções da mesma EDO com o mesmo valor inicial em
, violando a unicidade garantida pelo Teorema de Existência e Unicidade.