Suponha que a equação diferencial de primeira ordem d y / d x=f(x, y) tenha uma família a um parâmetro de soluções e que f(x, y) satisfaça as hipóteses do Teorema da Existência e Unicidade em alguma região retangular R do plano x y. Discuta por que duas curvas integrais diferentes não podem se interceptar ou ser tangentes uma à outra em um ponto (x0, y0) em R.

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial de primeira ordem
dydx=f(x,y)
cuja função f satisfaz as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade em um retângulo R no plano (x,y). Isso garante que, dado um ponto l(x0,y0r)in R, existe uma única solução da EDO passando por esse ponto.

Passo 2

Suponha que duas curvas integrais diferentes y1(x) e y2(x) se intersectem em l(x0,y0r). Isto é,
y1(x0)=y2(x0)=y0
Ambas satisfazem a EDO e passam pelo mesmo ponto inicial. Pelo Teorema de Unicidade, a condição inicial
y(x0)=y0
determina exatamente uma solução local. Logo, nas proximidades de x0 temos y1(x)=y2(x), o que contradiz a hipótese de que são curvas diferentes.

Passo 3

Agora, suponha que y1(x) e y2(x) sejam simplesmente tangentes em l(x0,y0r). Isso implica não só
y1(x0)=y2(x0)=y0,
mas também
y1'(x0)=y2'(x0)=fl(x0,y0r)
Em outras palavras, ambas satisfazem o mesmo problema de valor inicial de primeira ordem. Pela Unicidade, a solução desse problema de valor inicial é única, de modo que y1 e y2 coincidem num entorno de x0, novamente contradizendo a hipótese de serem diferentes.

Resposta

Duas curvas integrais distintas não podem nem se cruzar nem ser tangentes em R, pois ambos os casos levariam a duas soluções da mesma EDO com o mesmo valor inicial em l(x0,y0r), violando a unicidade garantida pelo Teorema de Existência e Unicidade.

Exercícios relacionados