Suponha que y = y(x), nas equações das seguintes curvas:
(C C1) 4 y^3-x^2 y-x+5 y=0 e (C2) x^4-4 y^3+5 x+y=0
Use derivação implícita para concluir que a reta tangente à curva 1 é igual à reta normal à curva 2 , no ponto (0,0).

Passo 1

Nessa questão temos duas curvas definidas implicitamente: C₁ com equação 4y³ − x²y − x + 5y = 0 e C₂ com equação x⁴ − 4y³ + 5x + y = 0. O conteúdo é derivação implícita, ou seja, diferenciar cada equação em relação a x considerando y = y(x) e depois isolar y’. O objetivo é mostrar que a reta tangente a C₁ em (0,0) coincide com a reta normal a C₂ em (0,0).

Passo 2

Vamos derivar implicitamente a equação de C₁. Derivando termo a termo em relação a x temos: 4y³ → 12y²y’, −x²y → −(2xy + x²y’), −x → −1, 5y → 5y’. Somando tudo dá
12y^2y' - 2xy - x^2y' - 1 + 5y' = 0

Passo 3

Agora agrupamos os termos em y’ e isolamos:
(12y^2 - x^2 + 5),y' - 2xy - 1 = 0 Longrightarrow y' = 2xy + 112y^2 - x^2 + 5

Passo 4

Avaliando em (0,0) obtemos y’(0) = (2·0·0 + 1)/(12·0² - 0 + 5) = 1/5. Logo a reta tangente a C₁ em (0,0) tem equação y = (1/5)x.

Passo 5

Para C₂ vamos fazer o mesmo: x⁴ → 4x³, −4y³ → −12y²y’, +5x → 5, +y → y’. Somando e igualando a zero:
4x^3 - 12y^2y' + 5 + y' = 0

Passo 6

Isolando y’ vem
(1 - 12y^2),y' + 4x^3 + 5 = 0 Longrightarrow y' = -4x^3 - 51 - 12y^2

Passo 7

Em (0,0) o coeficiente angular da tangente é y’(0) = −5/1 = −5. A reta normal tem coeficiente angular igual ao negativo do recíproco: m_n = 1/5, e, passando por (0,0), sua equação é y = (1/5)x, que coincide com a tangente de C₁.

Resposta

As duas linhas são dadas por y = (1/5)x.

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