Suponha que y =
, nas equações das seguintes curvas:
Use derivação implícita para concluir que a reta tangente à curva 1 é igual à reta normal à curva 2 , no ponto
.
Passo 1
Nessa questão temos duas curvas definidas implicitamente: C₁ com equação 4y³ − x²y − x + 5y = 0 e C₂ com equação x⁴ − 4y³ + 5x + y = 0. O conteúdo é derivação implícita, ou seja, diferenciar cada equação em relação a x considerando y = y(x) e depois isolar y’. O objetivo é mostrar que a reta tangente a C₁ em (0,0) coincide com a reta normal a C₂ em (0,0).
Passo 2
Vamos derivar implicitamente a equação de C₁. Derivando termo a termo em relação a x temos: 4y³ → 12y²y’, −x²y → −(2xy + x²y’), −x → −1, 5y → 5y’. Somando tudo dá
Passo 3
Agora agrupamos os termos em y’ e isolamos:
Passo 4
Avaliando em (0,0) obtemos y’(0) = (2·0·0 + 1)/(12·0² - 0 + 5) = 1/5. Logo a reta tangente a C₁ em (0,0) tem equação y = (1/5)x.
Passo 5
Para C₂ vamos fazer o mesmo: x⁴ → 4x³, −4y³ → −12y²y’, +5x → 5, +y → y’. Somando e igualando a zero:
Passo 6
Isolando y’ vem
Passo 7
Em (0,0) o coeficiente angular da tangente é y’(0) = −5/1 = −5. A reta normal tem coeficiente angular igual ao negativo do recíproco: m_n = 1/5, e, passando por (0,0), sua equação é y = (1/5)x, que coincide com a tangente de C₁.
Resposta
As duas linhas são dadas por y = (1/5)x.