Suponha que o erro na temperatura de reação, em graus centígrados, para um determinado experimento de laboratório seja a variável aleatória X, cuja função é:
f(x)= x^23, & -1
a) Verifique se f(x) é uma função densidade de probabilidade
b) P(0

Passo 1

Estamos lidando com a variável aleatória contínua X cuja função densidade é
f(x)=x^23,&-1á
Aqui o conteúdo é função densidade de probabilidade e probabilidade de um intervalo. Vamos precisar usar as definições de pdf (f(x)≥0 e integral total igual a 1) e de probabilidade de variável contínua (área sob a curva).

Passo 2

Para ser função densidade, f(x) precisa satisfazer f(x)\ge0 para todo x. Como f(x)=x^2/3 e x^2≥0, temos f(x)\ge0 em todo o domínio, então a primeira condição está ok.

Passo 3

Agora verificamos a normalização, isto é, se a integral de f(x) de –∞ a ∞ vale 1. Como f(x)≠0 só em –1<x\le2, calculamos:
integral-1^2x^23,dx = 13integral-1^2x^2,dx = 13cdotx^33|-1^2 = 19l(2^3-(-1)^3r)=19(8+1)=1
Logo, a integral total é 1 e f(x) é uma pdf válida.

Passo 4

Para achar P(0<X\le1), usamos que em variável contínua a probabilidade é a integral da pdf no intervalo desejado. Assim,
P(0

Resposta

a) Sim, f(x) é uma função densidade de probabilidade. b) P(0<X\le1)=\tfrac{1}{9}.

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