Calcule, justificando cada passagem:
dd x(x^sen(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a derivada de uma função que tem uma base e um expoente que dependem de $ x $. A função é $ x^{\sin(x)} $. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções com formas mais complexas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas regras de derivação, como logaritmos e propriedades de exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando exponenciais e logaritmos, porque isso vai facilitar a diferenciação. Sabemos que qualquer função $ a^b $ pode ser escrita como $ e^{b \cdot \ln(a)} $. Então, aplicando isso à nossa função:
a^b

Passo 3

Agora, queremos derivar $ e^{\sin(x) \cdot \ln(x)} $ em relação a $ x $. Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de $ e^{u} $ em relação a $ x $ é $ e^{u} \cdot \frac{du}{dx} $, onde $ u = \sin(x) \cdot \ln(x) $.

Passo 4

Vamos encontrar $ \frac{du}{dx} $, onde $ u = \sin(x) \cdot \ln(x) $. Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de $ f(x) \cdot g(x) $ é $ f’(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g’(x) $.
Aqui, $ f(x) = \sin(x) $ e $ g(x) = \ln(x) $.
Primeiro, derivamos $ f(x) $:
dudx
Depois, derivamos $ g(x) $:
u = sin(x) cdot ln(x)
Então,
f(x) cdot g(x)

Passo 5

Agora, voltamos à nossa expressão original para a derivada:
ddx ( x^sin(x) ) = e^sin(x) cdot ln(x) cdot ( cos(x) cdot ln(x) + sin(x)x )
E lembrando que $ e^{\sin(x) \cdot \ln(x)} = x^{\sin(x)} $, podemos substituir de volta:
e^sin(x) cdot ln(x) = x^sin(x)

Resposta

A derivada de $ x^{\sin(x)} $ em relação a $ x $ é:
x^sin(x)

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