Um engenheiro está analisando o tempo médio necessário para concluir uma tarefa em uma linha de produção. O tempo médio para finalizar a tarefa é de 5.4 horas, com um desvio padrão de 2 horas. Suponha que uma amostra aleatória simples de 40 tarefas seja selecionada.
Qual é a probabilidade da média amostral ser maior ou igual a 5 horas? ( 0.5 ponto)

Passo 1

Opa! Vamos resumir rapidinho o que o enunciado diz e o que precisamos. Um engenheiro sabe que, em média, uma tarefa demora μ = 5,4 h com desvio padrão σ = 2 h na linha de produção. A gente vai pegar uma amostra de tamanho n = 40 e quer saber a chance da média dessa amostra ser ≥ 5 h.
Conteúdo: estatística inferencial, distribuição amostral da média e Teorema Central do Limite (TCL). Vamos usar o fato de que, para n grande, a média amostral é quase Normal com média μ e desvio padrão .

Passo 2

Calcular os parâmetros da distribuição da média amostral.
Pelo Teorema Central do Limite,
sigmaoverline X = 2raiz40 approx 26,3246 approx 0,3162 ,
onde
e
.
Vamos achar esse :

Passo 3

Transformar o problema em Padrão Z.
Queremos
Pl(overline X >= 5r)
Definimos
Z = overline X - musigmaoverline X = overline X - 5.40.3162
Então
P(overline X >= 5) = Pl(Z >= 5 - 5.40.3162r) = Pl(Z >= -0.40.3162r)
Calculemos esse valor de Z:
z0 = -0.40.3162 approx -1.2649

Passo 4

Calcular a probabilidade usando a tabela da Normal Padrão.
A gente quer
P(Z >= -1.2649)
Como a curva normal é simétrica,
P(Z >= -1.2649) = P(Z <= 1.2649)
Consultando a tabela da Normal Padrão,
Phi(1.2649) approx 0.897

Resposta

A probabilidade da média amostral ser maior ou igual a 5 h é cerca de 0,897 (ou 89,7%).

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