Suponha que estamos avaliando a taxa de contaminação de uma população (cidade de Maringá) com o vírus da dengue. Selecionamos uma amostra de 100 indivíduos dessa população, dos quais 20 estavam infectados com o vírus.
Utilizando a abordagem otimista, construa um intervalo de confiança de 99% para a proporção real de indivíduos infectados com o vírus da dengue. (1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, olha o que o exercício tá pedindo: a gente pegou uma amostra de n=100 pessoas em Maringá e viu que x=20 estavam com dengue. Queremos montar um intervalo de confiança de 99% para a proporção real p da cidade, usando a “abordagem otimista” (ou seja, estimando o erro padrão com a própria proporção amostral).
Conteúdo: estimativa de proporção e intervalo de confiança via aproximação normal (Teorema do Limite Central). Precisamos de:
  • proporção amostral ,
  • erro padrão ,
  • valor crítico para 99%.

Passo 2

Primeiro vamos achar a proporção amostral:
hat p = xn = 20100 = 0,20
Teoria rápida: quando n é grande, tem distribuição aproximada normal com média e variância . Como não sabemos , usamos para estimar o desvio padrão (erro padrão).

Passo 3

Vamos ao erro padrão (EP):
EP = raizhat p,(1-hat p)n = raiz0,20 times 0,80100 = raiz0,16100 = 0,04
E o valor crítico para 99% (nível de confiança) é
z1-alpha/2 = z0,995 approx 2,5758

Passo 4

Agora, a margem de erro (ME) fica
ME = z1-alpha/2,EP = 2,5758 times 0,04 approx 0,1030
Então o intervalo de confiança é
hat p pm ME = 0,20 pm 0,1030 = [,0,20 - 0,1030,,,0,20 + 0,1030,] = [,0,097,,,0,303,]

Resposta

O intervalo de confiança de 99% para a proporção real de infectados é aproximadamente
[,0,097,,,0,303,],
ou seja, entre 9,7% e 30,3%.

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