Uma fábrica de automóveis possui 20 robôs que trabalham colaborativamente em uma linha de montagem. Se um robô falhar a linha de montagem para. A probabilidade de um robô falhar é de 0,005 em um ano e a falha de um robô independe dos outros robôs falharem. Modele os robôs por uma sequência de Bernoulli e responda qual a probabilidade da linha de montagem parar em um ano?
Resposta: □

Passo 1

O enunciado diz: há 20 robôs trabalhando na mesma linha de montagem. Se algum robô falhar, a linha para. A probabilidade de um robô falhar no período de um ano é 0,005. As falhas dos robôs são independentes entre si. A pergunta é: qual a probabilidade de a linha de montagem parar em um ano?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\;n=20 (número de robôs),
\;p=0,005 (probabilidade de falha de cada robô em um ano),
independência entre as falhas,
procuramos a probabilidade de que ocorra pelo menos uma falha entre os 20 robôs no intervalo de um ano.

Passo 2

Modelagem com Bernoulli e Binomial — definição e interpretação passo a passo.
Defina, para cada robô i (com i=1,\dots,20), a variável aleatória
\;X_i
onde
\;X_i=1 se o robô i falha no ano,
\;X_i=0 se o robô i não falha no ano.
Cada \;X_i é uma distribuição Bernoulli com parâmetro \;p, ou seja:
P(X_i=1)=p,\qquad P(X_i=0)=1-p.
Explicando: uma Bernoulli é um experimento com dois resultados possíveis (sucesso/falha) e probabilidade p do “sucesso” (aqui “falha”).

Passo 3

Soma das Bernoullis e distribuição Binomial — conceito e fórmula.
Considere a soma total de falhas
\;S=\sum_{i=1}^{20} X_i.
Como as X_i são independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.), S tem distribuição Binomial com parâmetros n=20 e p=0,005. Ou seja,
P(S=k)=\binom{20}{k}p^{k}(1-p)^{20-k},\quad k=0,1,\dots,20.
Interpretação: P(S=k) é a probabilidade de ocorrer exatamente k falhas entre os 20 robôs.

Passo 4

Relacionando o problema ao evento de interesse e uso da regra do complemento.
O evento “a linha de montagem para em um ano” é exatamente o evento “ocorre pelo menos uma falha”, isto é \{S\ge 1\}.
É muito conveniente usar a regra do complemento:
P(S\ge 1)=1-P(S=0).
Explicando a regra do complemento: a probabilidade de ocorrer pelo menos um evento é 1 menos a probabilidade de que nenhum evento ocorra.

Passo 5

Calcular P(S=0) usando a fórmula da Binomial.
Pelo caso k=0 da fórmula binomial temos
P(S=0)=(1-p)^{20}.
Substituindo p=0,005,
P(S=0)=(1-0,005)^{20}=(0,995)^{20}.
Essa é a expressão exata (em forma fechada) para a probabilidade de nenhum robô falhar em um ano.

Passo 6

Aproximação prática (por que e como): Poisson / exponencial para p pequeno.
Como p é pequeno ( 0,005) e n não é enorme, uma aproximação clássica é usar a aproximação de Poisson para a Binomial, com parâmetro
\;\lambda = n p = 20\cdot 0,005 = 0,1.
Na aproximação de Poisson,
P(S=0)\approx e^{-\lambda}=e^{-0,1}.
Assim, uma avaliação prática é
P(S\ge 1)=1-P(S=0)\approx 1-e^{-0,1}.
Essa aproximação é muito boa aqui porque p é pequeno e np é moderado. Outra forma de ver isso é usar a aproximação (1-p)^n\approx e^{-np} quando p é pequeno.

Passo 7

Preparação final para obter o valor numérico — deixo a expressão exata e a aproximação pronta para a resposta final.
Expressão exata:
P(\text{linha para em 1 ano}) = 1-(0,995)^{20}.
Aproximação via Poisson/exponencial:
P(\text{linha para em 1 ano}) \approx 1-e^{-0,1}.

Resposta

1-(0,995)^{20}\approx0,0951626

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