Uma fábrica de automóveis possui 20 robôs que trabalham colaborativamente em uma linha de montagem. Se um robô falhar a linha de montagem para. A probabilidade de um robô falhar é de 0,005 em um ano e a falha de um robô independe dos outros robôs falharem. Modele os robôs por uma sequência de Bernoulli e responda qual a probabilidade da linha de montagem parar em um ano?
Resposta: □
Passo 1
O enunciado diz: há
robôs trabalhando na mesma linha de montagem. Se algum robô falhar, a linha para. A probabilidade de um robô falhar no período de um ano é
. As falhas dos robôs são independentes entre si. A pergunta é: qual a probabilidade de a linha de montagem parar em um ano?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
(número de robôs),
(probabilidade de falha de cada robô em um ano),
independência entre as falhas,
procuramos a probabilidade de que ocorra pelo menos uma falha entre os robôs no intervalo de um ano.
independência entre as falhas,
procuramos a probabilidade de que ocorra pelo menos uma falha entre os
Passo 2
Modelagem com Bernoulli e Binomial — definição e interpretação passo a passo.
Defina, para cada robô
(com
), a variável aleatória
onde
se o robô
falha no ano,
se o robô
não falha no ano.
onde
Cada
é uma distribuição Bernoulli com parâmetro
, ou seja:
Explicando: uma Bernoulli é um experimento com dois resultados possíveis (sucesso/falha) e probabilidade
do “sucesso” (aqui “falha”).
Passo 3
Soma das Bernoullis e distribuição Binomial — conceito e fórmula.
Considere a soma total de falhas
.
Como as são independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.),
tem distribuição Binomial com parâmetros
e
. Ou seja,
Como as
Interpretação:
é a probabilidade de ocorrer exatamente
falhas entre os
robôs.
Passo 4
Relacionando o problema ao evento de interesse e uso da regra do complemento.
O evento “a linha de montagem para em um ano” é exatamente o evento “ocorre pelo menos uma falha”, isto é
.
É muito conveniente usar a regra do complemento:
Explicando a regra do complemento: a probabilidade de ocorrer pelo menos um evento é 1 menos a probabilidade de que nenhum evento ocorra.
Passo 5
Calcular
usando a fórmula da Binomial.
Pelo caso
da fórmula binomial temos
Substituindo
,
Essa é a expressão exata (em forma fechada) para a probabilidade de nenhum robô falhar em um ano.
Passo 6
Aproximação prática (por que e como): Poisson / exponencial para
pequeno.
Como
é pequeno (
) e
não é enorme, uma aproximação clássica é usar a aproximação de Poisson para a Binomial, com parâmetro
.
Na aproximação de Poisson,
Na aproximação de Poisson,
Assim, uma avaliação prática é
Essa aproximação é muito boa aqui porque
é pequeno e
é moderado. Outra forma de ver isso é usar a aproximação
quando
é pequeno.
Passo 7
Preparação final para obter o valor numérico — deixo a expressão exata e a aproximação pronta para a resposta final.
Expressão exata:
Aproximação via Poisson/exponencial: