Suponha que estejamos analisando um processo de produção de pacotinhos de batatas fritas. Sabendo que o peso médio de cada pacotinho é de \mu=35 g e a variância correspondente é de \sigma^{2}=0,25 g^{2} (em geral devido ao excesso de O_{2} em cada pacotinho), decidimos modelar então o peso de cada pacotinho através de uma v.a. X com distribuição Normal com média 35 e variância 0,25 , isto é, X \sim N(35,0,25).
Calcule \mathbb{P}(\mu-2 \sigma \leq X \leq \mu+2 \sigma).

Passo 1

O enunciado diz que o peso de cada pacotinho segue uma Normal com média \mu = 35 g e variância \sigma^2 = 0,25\\ \text{g}^{2}. Logo o desvio-padrão é
\sigma = \sqrt{0,25} = 0,5\text{ g}.
Queremos calcular
\mathbb{P}(\mu - 2\sigma \le X \le \mu + 2\sigma).
O conteúdo aqui é padronização de variável Normal e uso de tabela da Normal padrão.

Passo 2

Primeiro encontramos os limites em termos de X:
\mu - 2\sigma = 35 - 2\cdot0,5 = 34, \qquad \mu + 2\sigma = 35 + 2\cdot0,5 = 36.
Portanto buscamos
\mathbb{P}(34 \le X \le 36).

Passo 3

Padronizamos usando Z = \frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1). Assim,
\mathbb{P}(34 \le X \le 36) = \mathbb{P}\Bigl(\frac{34 - 35}{0,5} \le Z \le \frac{36 - 35}{0,5}\Bigr) = \mathbb{P}(-2 \le Z \le 2).

Passo 4

Pela simetria da Normal padrão e tabela,
\mathbb{P}(-2 \le Z \le 2) = \Phi(2) - \Phi(-2) = 2\,\Phi(2) - 1.

Passo 5

Da tabela da Normal padrão, \Phi(2)\approx0,97725. Logo
2\,\Phi(2)-1 \approx 2\times0,97725 - 1 = 0,9545.

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0,9545 (ou 95,45 %).

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