Seja Z \sim N(0,1) uma v.a. com Distribuição Normal padrão, isto é, com função de densidade
f_{Z}(z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left\{-\frac{1}{2} z^{2}\right\}, z \in \mathbb{R}
a. Encontre \mathbb{E}(Z).
b. Encontre \operatorname{var}(Z) e D P(Z).
c. Calcule \mathbb{P}(Z \leq 0).
d. Calcule \mathbb{P}(Z \geq 0).
e. Calcule \mathbb{P}(Z \leq-1,96).
f. Calcule \mathbb{P}(Z \geq-1,96).
g. Calcule \mathbb{P}(Z \leq 1,96).
h. Calcule \mathbb{P}(Z \geq 1,96).
i. Com base nos resultados dos itens acima, encontre z tal que \mathbb{P}(Z \leq z)=0,025=2,5 \%.
j. Com base nos resultados dos itens acima, encontre z tal que \mathbb{P}(Z \geq z)=0,025=2,5 \%.
k. Com base nos resultados dos itens acima, encontre z tal que \mathbb{P}(-z \leq Z \leq z)=0,95=95 \%.

Passo 1

O enunciado nos dá uma v.a. Z\sim N(0,1), ou seja, uma Normal padrão de média zero e variância 1. Vamos usar propriedades de simetria da Normal e tabelas (ou software) para calcular médias, variâncias, probabilidades e quantis.

Passo 2

Pela definição de “Normal padrão” e pela simetria da densidade em torno de zero, temos
\mathbb{E}(Z)=0.

Passo 3

Ainda por definição de Normal padrão, a variância é
\mathrm{var}(Z)=1,
logo o desvio-padrão é
DP(Z)=\sqrt{\mathrm{var}(Z)}=1.

Passo 4

Usando simetria e o fato de a curva ser contínua,
\mathbb{P}(Z\le0)=0,5,
e portanto
\mathbb{P}(Z\ge0)=1-0,5=0,5.

Passo 5

Consultando a tabela da Normal padrão ou software:
\mathbb{P}(Z\le -1,96)=0,025,
logo
\mathbb{P}(Z\ge -1,96)=1-0,025=0,975.
Pela simetria,
\mathbb{P}(Z\le 1,96)=0,975,
e
\mathbb{P}(Z\ge 1,96)=1-0,975=0,025.

Passo 6

Para encontrar z tal que \mathbb{P}(Z\le z)=0,025, basta inverter a tabela:
z=-1,96.

Passo 7

Para encontrar z tal que \mathbb{P}(Z\ge z)=0,025, escrevemos \mathbb{P}(Z\le z)=0,975 e lemos na tabela:
z=1,96.

Passo 8

Queremos z tal que
\mathbb{P}(-z\le Z\le z)=0,95.
Isso equivale a
\mathbb{P}(Z\le z)-\mathbb{P}(Z\le -z)=0,95.
Mas por simetria \mathbb{P}(Z\le -z)=1-\mathbb{P}(Z\le z), daí
2\,\mathbb{P}(Z\le z)-1=0,95 \;\Longrightarrow\; \mathbb{P}(Z\le z)=0,975 \;\Longrightarrow\; z=1,96.

Resposta

(a) \mathbb{E}(Z)=0.
(b) \mathrm{var}(Z)=1 e DP(Z)=1.
(c) \mathbb{P}(Z\le0)=0,5.
(d) \mathbb{P}(Z\ge0)=0,5.
(e) \mathbb{P}(Z\le-1,96)=0,025.
(f) \mathbb{P}(Z\ge-1,96)=0,975.
(g) \mathbb{P}(Z\le1,96)=0,975.
(h) \mathbb{P}(Z\ge1,96)=0,025.
(i) z=-1,96 para \mathbb{P}(Z\le z)=0,025.
(j) z=1,96 para \mathbb{P}(Z\ge z)=0,025.
(k) z=1,96 para \mathbb{P}(-z\le Z\le z)=0,95.

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