Seja X uma v.a. com Distribuição Normal com média \mu=10 e variância \sigma^{2}=16, isto é, seja X \sim N(10,16).
a. Encontre \mathbb{E}(X).
b. Encontre \operatorname{var}(X) e D P(X).
c. Calcule \mathbb{P}(X \leq 10).
d. Calcule \mathbb{P}(X \leq 2,16).
e. Com base nos resultados dos itens acima, encontre x_{1} tal que \mathbb{P}(X \leq \left.x_{1}\right)=0,025=2,5 \%.
f. Com base nos resultados dos itens acima, encontre x_{2} tal que \mathbb{P}(X \geq \left.x_{2}\right)=0,025=2,5 \%.
g. Com base nos resultados dos itens acima, encontre x_{1} e x_{2} tais que \mathbb{P}\left(x_{1} \leq X \leq x_{2}\right)=0,95=95 \%.

Passo 1

O enunciado diz que X é uma v.a. com distribuição normal de média \mu=10 e variância \sigma^{2}=16, ou seja
X\sim N(10,16).
Precisamos calcular a esperança, a variância, o desvio-padrão, algumas probabilidades do tipo \mathbb{P}(X\le x) e encontrar quantis que satisfazem certos níveis de probabilidade. Para isso, vamos usar a padronização
Z = \frac{X - 10}{4}\sim N(0,1)

Passo 2

Pela definição de normal, temos
\mathbb{E}(X)=\mu=10,
\operatorname{var}(X)=\sigma^{2}=16,
e o desvio-padrão é
DP(X)=\sigma=\sqrt{16}=4.

Passo 3

Para \mathbb{P}(X\le10) padronizamos:
\mathbb{P}(X\le10) =\mathbb{P}\Bigl(Z\le\frac{10-10}{4}\Bigr) =\mathbb{P}(Z\le0) =0,5.

Passo 4

Para \mathbb{P}(X\le2,16) calculamos
\frac{2,16-10}{4}=\frac{-7,84}{4}=-1,96,
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\mathbb{P}(X\le2,16) =\mathbb{P}(Z\le-1,96) \approx0,025.

Passo 5

Queremos x_{1} tal que \mathbb{P}(X\le x_{1})=0,025. Isso equivale a
\mathbb{P}\!\Bigl(Z\le\frac{x_{1}-10}{4}\Bigr)=0,025 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x_{1}-10}{4}=-1,96 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=10-1,96\cdot4=2,16.

Passo 6

Para x_{2} tal que \mathbb{P}(X\ge x_{2})=0,025 escrevemos
\mathbb{P}(Z\ge\frac{x_{2}-10}{4})=0,025 \;\Longrightarrow\; \mathbb{P}(Z\le\frac{x_{2}-10}{4})=0,975
e, como z_{0,975}=1,96, segue
\frac{x_{2}-10}{4}=1,96 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=10+1,96\cdot4=17,84.

Passo 7

Para achar x_{1} e x_{2} com
\mathbb{P}(x_{1}\le X\le x_{2})=0,95, usamos o intervalo central da normal padrão, que corresponde a z=\pm1,96. Assim
x_{1}=10-1,96\cdot4=2,16, \qquad x_{2}=10+1,96\cdot4=17,84.

Resposta

(a) \mathbb{E}(X)=10.
(b) \operatorname{var}(X)=16 e DP(X)=4.
(c) \mathbb{P}(X\le10)=0,5.
(d) \mathbb{P}(X\le2,16)=0,025.
(e) x_{1}=2,16.
(f) x_{2}=17,84.
(g) x_{1}=2,16 e x_{2}=17,84.

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