Um pesquisador aplicou um questionário para estudantes de Arquivologia e Biblioteconomia com o objetivo de pontuar a concentração destes alunos e obteve os seguintes resultados:
Arquivologia 4.60 4.20 4.50 3.80 3.50 4.00 3.70 3.80 4.20 4.30
Biblioteconomia 4.10 4.30 4.20 4.60 4.80 4.20 4.70 4.30 4.90 4.60
Faça um teste de hipótese para a pontuação média de concentração e verifique, ao nível de 5% de significância, se há diferença estatisticamente significativa (Considere variâncias iguais).

Passo 1

O enunciado fornece duas amostras de tamanho igual (cada uma com 10 observações) com pontuações de concentração. As informações relevantes que eu peguei do enunciado são:
  • Amostra Arquivologia (n _1 = 10), observações:
    \,4{,}60,\;4{,}20,\;4{,}50,\;3{,}80,\;3{,}50,\;4{,}00,\;3{,}70,\;3{,}80,\;4{,}20,\;4{,}30\,.
  • Amostra Biblioteconomia (n _2 = 10), observações:
    \,4{,}10,\;4{,}30,\;4{,}20,\;4{,}60,\;4{,}80,\;4{,}20,\;4{,}70,\;4{,}30,\;4{,}90,\;4{,}60\,.
O que o enunciado pede:
  • Fazer um teste de hipótese para verificar se há diferença na pontuação média de concentração entre os dois cursos, ao nível de significância de 5\%.
  • Foi indicado considerar variâncias iguais (portanto usaremos o teste t de duas amostras com variâncias agrupadas — pooled).
As hipóteses a testar são:
H_0: \mu_1 = \mu_2
H_1: \mu_1 \neq \mu_2
onde \mu_1 é a média da população de Arquivologia e \mu_2 é a média da população de Biblioteconomia. O teste será bilateral com \alpha = 0{,}05.

Passo 2

Calcular as estatísticas descritivas (médias e somas necessárias). Primeiro somei os dados de cada grupo (usei os números fornecidos no enunciado).
  • Soma e média da Arquivologia:
\sum_{i=1}^{10} x_{1i} = 40{,}60,\qquad n_1 = 10,
\bar{x}_1 = \dfrac{1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_1} x_{1i} = \dfrac{40{,}60}{10} = 4{,}06.
  • Soma e média da Biblioteconomia:
\sum_{i=1}^{10} x_{2i} = 44{,}70,\qquad n_2 = 10,
\bar{x}_2 = \dfrac{1}{n_2}\sum_{i=1}^{n_2} x_{2i} = \dfrac{44{,}70}{10} = 4{,}47.
Interpretação curta: a média amostral de Arquivologia é \bar{x}_1 = 4{,}06 e a de Biblioteconomia é \bar{x}_2 = 4{,}47; já dá uma pista de diferença, mas precisamos do teste estatístico.

Passo 3

Calcular as variâncias amostrais de cada grupo (usando denominador n-1). Vou mostrar como se obtém: primeiro calculei as somas dos quadrados dos desvios de cada amostra em relação à sua média (peguei todos os valores do enunciado para isso).
  • Para Arquivologia:
\sum_{i=1}^{10} (x_{1i}-\bar{x}_1)^2 = 1{,}164.
s_1^2 = \dfrac{1}{n_1-1}\sum_{i=1}^{n_1}(x_{1i}-\bar{x}_1)^2 = \dfrac{1{,}164}{9} = 0{,}129333\ldots \approx 0{,}1293.
s_1 \approx \sqrt{0{,}1293} \approx 0{,}3596.
  • Para Biblioteconomia:
\sum_{i=1}^{10} (x_{2i}-\bar{x}_2)^2 = 0{,}721.
s_2^2 = \dfrac{0{,}721}{9} = 0{,}080111\ldots \approx 0{,}0801.
s_2 \approx \sqrt{0{,}0801} \approx 0{,}2831.
Explicação rápida do que isso significa: s_1^2 e s_2^2 são as estimativas amostrais da variância populacional de cada curso. Como o enunciado pede para considerar variâncias iguais, vamos combinar essas variâncias em uma estimativa conjunta.

Passo 4

Calcular a variância agrupada (pooled variance) \,s_p^2 e o desvio-padrão agrupado s_p. Fórmula (quando assumimos variâncias iguais):
s_p^2 = \dfrac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}.
Substituindo os valores calculados:
s_p^2 = \dfrac{9\cdot 0{,}129333\ldots + 9\cdot 0{,}080111\ldots}{18} = \dfrac{1{,}164 + 0{,}721}{18} = \dfrac{1{,}885}{18} = 0{,}104722\ldots \approx 0{,}1047.
s_p \approx \sqrt{0{,}1047} \approx 0{,}3237.
Comentário didático: a variância agrupada dá mais peso a cada amostra proporcionalmente a seus graus de liberdade; ela é a melhor estimativa comum de variância quando as variâncias populacionais podem ser consideradas iguais.

Passo 5

Calcular a estatística de teste t para duas amostras com variâncias iguais. A fórmula é:
t = \dfrac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}}.
Substituindo os números:
\bar{x}_1 - \bar{x}_2 = 4{,}06 - 4{,}47 = -0{,}41.
s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}} = 0{,}3237\sqrt{\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}} = 0{,}3237\sqrt{0{,}2} \approx 0{,}3237 \times 0{,}4472136 \approx 0{,}1448.
t \approx \dfrac{-0{,}41}{0{,}1448} \approx -2{,}83.
Graus de liberdade:
\nu = n_1 + n_2 - 2 = 10 + 10 - 2 = 18.
Interpretação: a estatística t \approx -2{,}83 mede em quantos erros-padrão as médias amostrais diferem; aqui a diferença observada é cerca de 2{,}83 erros-padrão (em valor absoluto).

Passo 6

Determinar a região crítica / p-valor e tomar a decisão ao nível \alpha = 0{,}05.
  • Para um teste bilateral com \nu = 18 e \alpha = 0{,}05, o valor crítico tabelado é aproximadamente
t_{(1-\alpha/2,\;\nu)} = t_{0{,}975,\;18} \approx 2{,}101.
  • Comparação: |t| = 2{,}83 > 2{,}101. Portanto a estatística cai na região crítica; rejeita-se H_0.
  • Estimativa do p-valor: para t = -2{,}83 com \nu = 18, o p-valor bilateral é aproximadamente p \approx 0{,}01 (mais precisamente cerca de 0{,}011). Em qualquer caso p < 0{,}05.
Interpretação prática e motivação curta: rejeitar H_0 significa que a diferença observada entre as médias amostrais ( 4{,}06 vs 4{,}47) é grande demais para ser explicada apenas por variação amostral aleatória, com nível de confiança de 95\%.

Passo 7

Conclusão final (em linguagem de prova e também em termos práticos): com base no teste t bilateral com variâncias assumidas iguais, nível de significância 5\%, estatística t \approx -2{,}83, graus de liberdade 18 e p\text{-valor}\approx 0{,}01, rejeita-se H_0. Logo, existe diferença estatisticamente significativa entre as médias de pontuação de concentração dos estudantes de Arquivologia e Biblioteconomia; a média da Biblioteconomia é maior (pois \bar{x}_2 > \bar{x}_1).

Resposta

Rejeita-se H_0. Há diferença estatisticamente significativa ao nível de 5\% ( t\approx -2{,}83, \nu=18, p\approx 0{,}01 ).

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