Um pesquisador aplicou um questionário para estudantes de Arquivologia e Biblioteconomia com o objetivo de pontuar a concentração destes alunos e obteve os seguintes resultados:
Arquivologia
4.60
4.20
4.50
3.80
3.50
4.00
3.70
3.80
4.20
4.30
Biblioteconomia
4.10
4.30
4.20
4.60
4.80
4.20
4.70
4.30
4.90
4.60
Faça um teste de hipótese para a pontuação média de concentração e verifique, ao nível de 5% de significância, se há diferença estatisticamente significativa (Considere variâncias iguais).
| Arquivologia | 4.60 | 4.20 | 4.50 | 3.80 | 3.50 | 4.00 | 3.70 | 3.80 | 4.20 | 4.30 |
| Biblioteconomia | 4.10 | 4.30 | 4.20 | 4.60 | 4.80 | 4.20 | 4.70 | 4.30 | 4.90 | 4.60 |
Passo 1
O enunciado fornece duas amostras de tamanho igual (cada uma com
observações) com pontuações de concentração. As informações relevantes que eu peguei do enunciado são:
- Amostra Arquivologia (n
= ), observações:
. - Amostra Biblioteconomia (n
= ), observações:
.
O que o enunciado pede:
- Fazer um teste de hipótese para verificar se há diferença na pontuação média de concentração entre os dois cursos, ao nível de significância de
. - Foi indicado considerar variâncias iguais (portanto usaremos o teste
de duas amostras com variâncias agrupadas — pooled).
As hipóteses a testar são:
onde
é a média da população de Arquivologia e
é a média da população de Biblioteconomia. O teste será bilateral com
.
Passo 2
Calcular as estatísticas descritivas (médias e somas necessárias). Primeiro somei os dados de cada grupo (usei os números fornecidos no enunciado).
- Soma e média da Arquivologia:
- Soma e média da Biblioteconomia:
Interpretação curta: a média amostral de Arquivologia é
e a de Biblioteconomia é
; já dá uma pista de diferença, mas precisamos do teste estatístico.
Passo 3
Calcular as variâncias amostrais de cada grupo (usando denominador
). Vou mostrar como se obtém: primeiro calculei as somas dos quadrados dos desvios de cada amostra em relação à sua média (peguei todos os valores do enunciado para isso).
- Para Arquivologia:
- Para Biblioteconomia:
Explicação rápida do que isso significa:
e
são as estimativas amostrais da variância populacional de cada curso. Como o enunciado pede para considerar variâncias iguais, vamos combinar essas variâncias em uma estimativa conjunta.
Passo 4
Calcular a variância agrupada (pooled variance)
e o desvio-padrão agrupado
. Fórmula (quando assumimos variâncias iguais):
Substituindo os valores calculados:
Comentário didático: a variância agrupada dá mais peso a cada amostra proporcionalmente a seus graus de liberdade; ela é a melhor estimativa comum de variância quando as variâncias populacionais podem ser consideradas iguais.
Passo 5
Calcular a estatística de teste
para duas amostras com variâncias iguais. A fórmula é:
Substituindo os números:
Graus de liberdade:
Interpretação: a estatística
mede em quantos erros-padrão as médias amostrais diferem; aqui a diferença observada é cerca de
erros-padrão (em valor absoluto).
Passo 6
Determinar a região crítica / p-valor e tomar a decisão ao nível
.
- Para um teste bilateral com
e , o valor crítico tabelado é aproximadamente
-
Comparação:
. Portanto a estatística cai na região crítica; rejeita-se . -
Estimativa do p-valor: para
com , o p-valor bilateral é aproximadamente (mais precisamente cerca de ). Em qualquer caso .
Interpretação prática e motivação curta: rejeitar
significa que a diferença observada entre as médias amostrais (
vs
) é grande demais para ser explicada apenas por variação amostral aleatória, com nível de confiança de
.
Passo 7
Conclusão final (em linguagem de prova e também em termos práticos): com base no teste
bilateral com variâncias assumidas iguais, nível de significância
, estatística
, graus de liberdade
e
, rejeita-se
. Logo, existe diferença estatisticamente significativa entre as médias de pontuação de concentração dos estudantes de Arquivologia e Biblioteconomia; a média da Biblioteconomia é maior (pois
).
Resposta
Rejeita-se
. Há diferença estatisticamente significativa ao nível de
(
,
,
).