Suponha que exista uma solução periódica da EDO dada por
. Seja
o interior dessa curva. Mostre que
(Dica: Use o Teorema de Green para escrever a equação acima como uma integral de linha sobre
. Use a EDO para mostrar que essa integral de linha se anula).
Passo 1
O enunciado afirma que
e que . Queremos mostrar que
O conteúdo principal usado será o Teorema de Green, que relaciona a integral dupla da divergência de um campo vetorial à integral de linha ao longo da fronteira.
Passo 2
Aplicamos o Teorema de Green escolhendo o campo vetorial
Então o Teorema de Green diz que, com orientação positiva em
,
Como
temos
Passo 3
Parametrizando a curva por
,
, a integral de linha torna-se
Mas pela própria EDO temos
e
. Logo o integrando é
Portanto