Suponha que exista uma solução periódica da EDO dada por alpha:[a, b] R^2. Seja R o interior dessa curva. Mostre que
integral duplaR(partial f1partial x(x, y)+partial f2partial y(x, y)) d x d y=0
(Dica: Use o Teorema de Green para escrever a equação acima como uma integral de linha sobre alpha. Use a EDO para mostrar que essa integral de linha se anula).

Passo 1

O enunciado afirma que
e que . Queremos mostrar que
O conteúdo principal usado será o Teorema de Green, que relaciona a integral dupla da divergência de um campo vetorial à integral de linha ao longo da fronteira.

Passo 2

Aplicamos o Teorema de Green escolhendo o campo vetorial
F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r)=l(-f2(x,y),,f1(x,y)r)
Então o Teorema de Green diz que, com orientação positiva em partial R,
integral duplaRl(partialx Q-partialy Pr),dx,dy =ointpartial RP,dx+Q,dy
Como
partialx Q-partialy P =partialx f1(x,y)-l(-partialy f2(x,y)r) =partialx f1(x,y)+partialy f2(x,y),
temos
integral duplaRl(partialx f1+partialy f2r),dx,dy =ointalphal(-f2,dx+f1,dyr)

Passo 3

Parametrizando a curva por alpha(t)=(x(t),y(t)), tin[a,b], a integral de linha torna-se
integrala^bl[-,f2l(x(t),y(t)r),x'(t) ;+;f1l(x(t),y(t)r),y'(t)r],dt
Mas pela própria EDO temos x'(t)=f1(x(t),y(t)) e y'(t)=f2(x(t),y(t)). Logo o integrando é
-,f2,x' + f1,y' =-,f2,f1+f1,f2=0
Portanto
ointalphal(-f2,dx+f1,dyr) =integrala^b0,dt=0

Resposta

integral duplaRl(partialx f1+partialy f2r),dx,dy = 0

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