Calcule as derivadas parciais,
e
, das seguintes funções:
Passo 1
A questão pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y) = (1 + log_y x)^3. O conteúdo envolve derivadas parciais, regra da cadeia e mudança de base de logaritmos, pois logaritmo com base y não é direto de diferenciar.
Passo 2
Para simplificar, usamos a fórmula de mudança de base
Definimos
de modo que f(x,y) = u(x,y)^3.
Passo 3
Para calcular f_x aplicamos a regra da cadeia. Primeiro, f = u^3 implica f_x = 3u^2·u_x. Como y é tratado como constante, temos
Logo,
Passo 4
Para calcular f_y aplicamos a regra da cadeia. Agora x é tratado como constante, então
Assim,
Resposta
As derivadas parciais são
e