Calcule as derivadas parciais, fx e fy, das seguintes funções:
f(x, y)=(1+log y x)^3

Passo 1

A questão pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y) = (1 + log_y x)^3. O conteúdo envolve derivadas parciais, regra da cadeia e mudança de base de logaritmos, pois logaritmo com base y não é direto de diferenciar.

Passo 2

Para simplificar, usamos a fórmula de mudança de base
logyx = ln xln y
Definimos
u(x,y) = 1 + ln xln y,
de modo que f(x,y) = u(x,y)^3.

Passo 3

Para calcular f_x aplicamos a regra da cadeia. Primeiro, f = u^3 implica f_x = 3u^2·u_x. Como y é tratado como constante, temos
ux = partialpartial xl(1 + ln xln yr) = 1xln y
Logo,
fx(x,y) = 3,u^2 cdot 1xln y = 3l(1 + ln xln yr)^2xln y

Passo 4

Para calcular f_y aplicamos a regra da cadeia. Agora x é tratado como constante, então
uy = partialpartial yl(1 + ln xln yr) = ln x cdot partialpartial yl(1ln yr) = ln x cdot l(-1(ln y)^2cdot1yr) = -ln xy(ln y)^2
Assim,
fy(x,y) = 3,u^2 cdot l(-ln xy(ln y)^2r) = -3ln xl(1 + ln xln yr)^2y(ln y)^2

Resposta

As derivadas parciais são
fx(x,y) = 3l(1 + ln xln yr)^2xln y,
e
fy(x,y) = -3ln xl(1 + ln xln yr)^2y(ln y)^2

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