Suponha que o experimento aleatório que consiste em escolher um ponto ao acaso no círculo unitário. Determine: (a) o espaço amostral. (b) O evento A : o ponto escolhido esteja a uma distância entre o ponto escolhido a origem é <= 1 / 4. © Determines P(A)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente vai sortear um ponto “à toa” dentro do círculo de raio 1 (chamado de círculo unitário). Isso é um problema de probabilidade geométrica: a probabilidade de um evento é a razão entre a área da região que interessa e a área total. O que precisamos:
  1. Descrever o espaço amostral Ω (a região inteira),
  2. Descrever o evento A (a sub-região onde a distância ao centro é ≤1/4),
  3. Calcular P(A) = área(A)/área(Ω).

Passo 2

Definindo as regiões:
  • Espaço amostral Ω = { (x,y) ∈ ℝ² ∣ x² + y² ≤ 1 } (o disco de raio 1).
  • Evento A = { (x,y) ∈ ℝ² ∣ a distância ao centro ≤ 1/4 }
    = { (x,y) ∣ x² + y² ≤ (1/4)² }
    = { (x,y) ∣ x² + y² ≤ 1/16 }
    Aqui usamos a noção de “distância do ponto (x,y) à origem” = √(x²+y²).

Passo 3

Agora, probabilidade geométrica com distribuição uniforme:
  • Área de Ω = π·1² = π
  • Área de A = π·(1/4)² = π/16
    Como cada ponto é equiprovável,
P(A) ;=;área(A)área(Ω) ;=;pi/16pi ;=;116 áá

Resposta

P(A) = 1/16.

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