Suponha que o experimento aleatório que consiste em escolher um ponto ao acaso no círculo unitário. Determine: (a) o espaço amostral. (b) O evento
: o ponto escolhido esteja a uma distância entre o ponto escolhido a origem é
. © Determines
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente vai sortear um ponto “à toa” dentro do círculo de raio 1 (chamado de círculo unitário). Isso é um problema de probabilidade geométrica: a probabilidade de um evento é a razão entre a área da região que interessa e a área total. O que precisamos:
- Descrever o espaço amostral Ω (a região inteira),
- Descrever o evento A (a sub-região onde a distância ao centro é ≤1/4),
- Calcular P(A) = área(A)/área(Ω).
Passo 2
Definindo as regiões:
- Espaço amostral Ω = { (x,y) ∈ ℝ² ∣ x² + y² ≤ 1 } (o disco de raio 1).
- Evento A = { (x,y) ∈ ℝ² ∣ a distância ao centro ≤ 1/4 }
= { (x,y) ∣ x² + y² ≤ (1/4)² }
= { (x,y) ∣ x² + y² ≤ 1/16 }
Aqui usamos a noção de “distância do ponto (x,y) à origem” = √(x²+y²).
Passo 3
Agora, probabilidade geométrica com distribuição uniforme:
- Área de Ω = π·1² = π
- Área de A = π·(1/4)² = π/16
Como cada ponto é equiprovável,
Resposta
P(A) = 1/16.