Quantas funções contínuas
existem que satisfazem
para todo
?
Passo 1
O enunciado pede para achar quantas funções contínuas
satisfazem
para todo
. O conteúdo envolve resolver uma equação funcional ponto a ponto e usar o fato de que funções contínuas não podem trocar de sinal dentro de um mesmo intervalo conectado.
Passo 2
Da equação
segue que, para cada
, temos
ou
. Ou seja, em princípio são várias escolhas de sinal independentes.
Passo 3
Como
se decompõe em três conjuntos conectados
, {0} e
, e uma função contínua só pode manter um mesmo sinal em cada intervalo conectado, o valor de
precisa ser constante em
e em
. No ponto
a única solução é
.
Passo 4
Em cada um dos dois intervalos
e
podemos escolher independentemente
ou
, totalizando
funções contínuas que satisfazem a equação.
Resposta
4