Quantas funções contínuas f existem que satisfazem (f(x))^2=x^2 para todo x ?

Passo 1

O enunciado pede para achar quantas funções contínuas f: Rto R satisfazem (f(x))^2 = x^2 para todo x. O conteúdo envolve resolver uma equação funcional ponto a ponto e usar o fato de que funções contínuas não podem trocar de sinal dentro de um mesmo intervalo conectado.

Passo 2

Da equação (f(x))^2 = x^2 segue que, para cada x, temos f(x)=x ou f(x)=-x. Ou seja, em princípio são várias escolhas de sinal independentes.

Passo 3

Como R se decompõe em três conjuntos conectados ( -infty,0), {0} e (0,infty), e uma função contínua só pode manter um mesmo sinal em cada intervalo conectado, o valor de f(x)/x precisa ser constante em ( -infty,0) e em (0,infty). No ponto x=0 a única solução é f(0)=0.

Passo 4

Em cada um dos dois intervalos ( -infty,0) e (0,infty) podemos escolher independentemente f(x)=x ou f(x)=-x, totalizando 2times2=4 funções contínuas que satisfazem a equação.

Resposta

4

Exercícios relacionados