Suponha que
é contínua em
e
. Prove que se
, então
é diferente de zero em algum intervalo aberto contendo
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função $ f $ que é contínua no ponto $ a $ e sabe que $ f(a) = 0 $. O que precisamos provar é que, se $ \alpha $ for diferente de zero ($ \alpha \neq 0 $), então a função $ f + \alpha $ não será igual a zero em algum intervalo aberto que contenha $ a $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e propriedades básicas de limites.
Passo 2
Primeiro, lembremos o que significa a função $ f $ ser contínua em $ a $. Isso quer dizer que:
Como sabemos que $ f(a) = 0 $, isso significa que:
Passo 3
Agora, consideremos a função $ f + \alpha $. Queremos mostrar que existe um intervalo ao redor de $ a $ onde $ f(x) + \alpha \neq 0 $. Vamos olhar para o limite dessa nova função quando $ x $ se aproxima de $ a $:
Passo 4
Sabemos que $ \alpha \neq 0 $. Então, o limite de $ f(x) + \alpha $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ é igual a $ \alpha $, que não é zero. Pela definição de limite, existe um intervalo ao redor de $ a $ onde $ f(x) + \alpha $ está próximo de $ \alpha $, ou seja, diferente de zero.
Passo 5
Para formalizar, dado que a função $ f + \alpha $ tende a $ \alpha $ quando $ x $ tende a $ a $, e $ \alpha \neq 0 $, podemos escolher um intervalo $ (a - \delta, a + \delta) $ onde $ f(x) + \alpha $ permanece diferente de zero. Isso acontece porque podemos fazer $ |f(x) + \alpha - \alpha| = |f(x)| < |\alpha| $, garantindo que $ f(x) + \alpha $ não cruza zero nesse intervalo.
Resposta
Portanto, provamos que se $ f $ é contínua em $ a $ com $ f(a) = 0 $ e $ \alpha \neq 0 $, então a função $ f + \alpha $ é diferente de zero em algum intervalo aberto que contém $ a $.