Para qual das seguintes funções
existe uma função contínua
com domínio
tal que
para todo
no domínio de
?
(a)
.
(b)
.
©
irracional.
(d)
irredutível.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
O enunciado pede pra gente analisar quatro funções e ver em quais delas dá pra achar uma extensão contínua
que concorde com
no domínio original. O conteúdo principal aqui é extensão contínua por limites (ou descontinuidade removível, salto, etc.).
Passo 2
A função (a) é
com domínio
. A gente observa que
, logo
Passo 3
O limite quando
é
Passo 4
Basta então definir
Passo 5
Na (b) temos
para
. Essa função vale
se
e
se
. Os limites laterais em zero são diferentes:
Passo 6
Não existe jeito de escolher
que a torne contínua em zero, então (b) não dá.
Passo 7
Na © definimos
só para irracionais. O domínio é o conjunto dos irracionais, que é denso em
. Se
for contínua em qualquer
, ao aproximar por irracionais temos sempre valor zero. Logo o único candidato é
Passo 8
Na (d) temos
definido só em racionais
irredutível, valendo
. Mostra-se que para qualquer
o limite de
quando
(via valores admissíveis) é zero, mas em um racional
temos
. Não dá pra conciliar, então (d) não dá.
Resposta
As funções que admitem extensão contínua em
são apenas (a) e ©.