Para qual das seguintes funções f existe uma função contínua F com domínio R tal que F(x)=f(x) para todo x no domínio de f ?
(a) f(x)=x^2-4x-2.
(b) f(x)=|x|x.
© f(x)=0, x irracional.
(d) f(x)=1q, x=pq irredutível.

Passo 1

O enunciado pede pra gente analisar quatro funções e ver em quais delas dá pra achar uma extensão contínua F:RtoR que concorde com f no domínio original. O conteúdo principal aqui é extensão contínua por limites (ou descontinuidade removível, salto, etc.).

Passo 2

A função (a) é f(x)=x^2-4x-2 com domínio Rsetminus2. A gente observa que x^2-4=(x-2)(x+2), logo
f(x)=x+2, xneq2

Passo 3

O limite quando xto2 é
limxto2f(x)=2+2=4

Passo 4

Basta então definir
F(x)=x+2, forall xinR,que é contínua em todo lugar e coincide com f para xneq2. Portanto (a) dá.

Passo 5

Na (b) temos f(x)=|x|x para xneq0. Essa função vale -1 se x<0 e +1 se x>0. Os limites laterais em zero são diferentes:
limxto0^-|x|x=-1, limxto0^+|x|x=1

Passo 6

Não existe jeito de escolher F(0) que a torne contínua em zero, então (b) não dá.

Passo 7

Na © definimos f(x)=0 só para irracionais. O domínio é o conjunto dos irracionais, que é denso em R. Se F for contínua em qualquer x0, ao aproximar por irracionais temos sempre valor zero. Logo o único candidato é
F(x)=0, forall x,que é contínua e coincide com f nos irracionais. Portanto © dá.

Passo 8

Na (d) temos f definido só em racionais x=tfracpq irredutível, valendo 1/q. Mostra-se que para qualquer x0 o limite de f(x) quando xto x0 (via valores admissíveis) é zero, mas em um racional x0=p/q temos f(x0)=1/qneq0. Não dá pra conciliar, então (d) não dá.

Resposta

As funções que admitem extensão contínua em R são apenas (a) e ©.

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