Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando substituição trigonométrica
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Informações relevantes que temos:
- A variável de integração é
. - O integrando contém
, ou seja uma raiz do tipo com . - Há uma singularidade em
(divisão por zero), e a expressão só está definida para no contexto real (para que a raiz seja real).
O objetivo é calcular uma antiderivada (integral indefinida) usando substituição trigonométrica.
Passo 2
Escolha da substituição trigonométrica e justificativa didática.
Quando aparece uma expressão
é padrão usar a substituição
porque então
(assumindo
; escolhemos o intervalo
para ter
e
bem comportado). Aqui
, logo vamos usar
Explico rapidamente cada passo da substituição:
-
é expresso em termos de um ângulo . Isso transforma a raiz em uma função trigonométrica simples ( ). - Precisamos também da diferencial
em função de . - Ao final voltamos do
para usando relações trigonométricas e a definição de .
Passo 3
Aplicando a substituição
.
Calcule
e as peças do integrando:
(peguei
a partir da substituição
e da identidade
). Agora substituo tudo na integral:
Multiplicando os fatores:
Portanto a integral fica
Passo 4
Integrando em
usando identidades trigonométricas.
Usamos a identidade
porque
é uma identidade básica. Assim
As primitivas conhecidas são
e
. Logo
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltar para a variável
.
Precisamos expressar
e
em termos de
. Da substituição
temos
Com
a função
é inversa de
, então
Para
:
Usando
(peguei isso a partir de
) e
, obtemos
Substituindo em
resulta
Passo 6
Observações finais e domínio.
A primitiva obtida é válida para
tais que
e
(o integrando original tem problema em
). Ao escolher
garantimos
e usamos
sem ambiguidade. Pode-se verificar derivando a expressão final que se recupera o integrando original.