Calcule as integrais indefinidas abaixo utilizando substituição trigonométrica
\int \frac{\sqrt{2-x^{2}}}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{\sqrt{2-x^{2}}}{x^{2}}\,dx.
Informações relevantes que temos:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando contém \sqrt{2-x^{2}}, ou seja uma raiz do tipo \sqrt{a^{2}-x^{2}} com a=\sqrt{2}.
  • Há uma singularidade em x=0 (divisão por zero), e a expressão só está definida para |x|<\sqrt{2} no contexto real (para que a raiz seja real).
    O objetivo é calcular uma antiderivada (integral indefinida) usando substituição trigonométrica.

Passo 2

Escolha da substituição trigonométrica e justificativa didática.
Quando aparece uma expressão \sqrt{a^{2}-x^{2}} é padrão usar a substituição
x = a\sin\theta,
porque então
\sqrt{a^{2}-x^{2}}=\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}\theta}=a\cos\theta
(assumindo \cos\theta\ge0; escolhemos o intervalo \theta\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) para ter \cos\theta\ge0 e \arcsin bem comportado). Aqui a=\sqrt{2}, logo vamos usar
x=\sqrt{2}\sin\theta.
Explico rapidamente cada passo da substituição:
  • x é expresso em termos de um ângulo \theta. Isso transforma a raiz em uma função trigonométrica simples ( \cos\theta).
  • Precisamos também da diferencial dx em função de d\theta.
  • Ao final voltamos do \theta para x usando relações trigonométricas e a definição de \arcsin.

Passo 3

Aplicando a substituição x=\sqrt{2}\sin\theta.
Calcule dx e as peças do integrando:
dx=\sqrt{2}\cos\theta\,d\theta, \qquad x^{2}=2\sin^{2}\theta, \qquad \sqrt{2-x^{2}}=\sqrt{2-2\sin^{2}\theta}=\sqrt{2}\cos\theta
(peguei \sqrt{2-x^{2}}=\sqrt{2}\cos\theta a partir da substituição x=\sqrt{2}\sin\theta e da identidade \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1). Agora substituo tudo na integral:
\int \frac{\sqrt{2-x^{2}}}{x^{2}}\,dx = \int \frac{\sqrt{2}\cos\theta}{2\sin^{2}\theta}\cdot\bigl(\sqrt{2}\cos\theta\,d\theta\bigr).
Multiplicando os fatores:
\frac{\sqrt{2}\cos\theta\cdot\sqrt{2}\cos\theta}{2\sin^{2}\theta} =\frac{2\cos^{2}\theta}{2\sin^{2}\theta} =\frac{\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}=\cot^{2}\theta.
Portanto a integral fica
\int \cot^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Integrando em \theta usando identidades trigonométricas.
Usamos a identidade
\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta-1,
porque \csc^{2}\theta-\cot^{2}\theta=1 é uma identidade básica. Assim
\int \cot^{2}\theta\,d\theta =\int (\csc^{2}\theta-1)\,d\theta =\int \csc^{2}\theta\,d\theta-\int 1\,d\theta.
As primitivas conhecidas são \int \csc^{2}\theta\,d\theta=-\cot\theta e \int 1\,d\theta=\theta. Logo
\int \cot^{2}\theta\,d\theta = -\cot\theta - \theta + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar para a variável x.
Precisamos expressar \cot\theta e \theta em termos de x. Da substituição x=\sqrt{2}\sin\theta temos
\sin\theta=\frac{x}{\sqrt{2}}.
Com \theta\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) a função \arcsin é inversa de \sin, então
\theta=\arcsin\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right).
Para \cot\theta:
\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}.
Usando \cos\theta=\dfrac{\sqrt{2-x^{2}}}{\sqrt{2}} (peguei isso a partir de \sqrt{2-x^{2}}=\sqrt{2}\cos\theta) e \sin\theta=\dfrac{x}{\sqrt{2}}, obtemos
\cot\theta =\frac{\dfrac{\sqrt{2-x^{2}}}{\sqrt{2}}}{\dfrac{x}{\sqrt{2}}} =\frac{\sqrt{2-x^{2}}}{x}.
Substituindo em -\cot\theta-\theta+C resulta
-\cot\theta-\theta+C =-\frac{\sqrt{2-x^{2}}}{x} -\arcsin\!\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+C.

Passo 6

Observações finais e domínio.
A primitiva obtida é válida para x tais que |x|<\sqrt{2} e x\neq0 (o integrando original tem problema em x=0). Ao escolher \theta\in\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) garantimos \cos\theta\ge0 e usamos \theta=\arcsin\!\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right) sem ambiguidade. Pode-se verificar derivando a expressão final que se recupera o integrando original.

Resposta

-\dfrac{\sqrt{2-x^{2}}}{x}-\arcsin\!\left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\right)+C

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