1. Suponha que f é uma função diferenciável para todos os x e que f^{\prime}(x) \leq 5 para todos os valores de x. Se f(2)=0, qual é o maior valor possível para f(8) ?

Passo 1

O enunciado diz que f é diferenciável em todo \mathbb{R}, que sua derivada satisfaz f'(x)\le5 para todo x e que f(2)=0. O conteúdo-chave é o Teorema do Valor Médio, que relaciona diferença de valores de f com seu percentual de variação.

Passo 2

Pelo Teorema do Valor Médio, existe algum c\in(2,8) tal que
f'\text{(c)} \;=\;\frac{f(8)-f(2)}{8-2}.

Passo 3

Como f'\text{(c)}\le5, segue que
\frac{f(8)-0}{6}\le5
ou seja
f(8)\le5\cdot6=30.

Passo 4

Para ver que esse valor pode ser alcançado, basta tomar a função afim f(x)=5x-10. De fato, f'(x)=5, f(2)=0 e f(8)=30.

Resposta

O maior valor possível de f(8) é 30.

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