(2 valores) Investigue a convergência da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{2^{n}(n+1)}.

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} a_n, \quad\text{onde}\quad a_n = \frac{2}{2^n(n+1)}.
O conteúdo envolvido é estudo de séries de termos positivos e podemos usar o teste da razão e o teste de comparação com uma série geométrica.

Passo 2

Aplicando o teste da razão, calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle \frac{2}{2^{n+1}(n+2)}} {\displaystyle \frac{2}{2^n(n+1)}} = \frac{n+1}{2\,(n+2)}.
Como
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2\,(n+2)} = \frac12 < 1,
a série converge pelo teste da razão.

Passo 3

Para reforçar, fazemos comparação direta com a série geométrica. Para n\ge1 vale n+1\ge2, logo
a_n = \frac{2}{2^n(n+1)} \le \frac{2}{2^n\cdot 2} = \frac{1}{2^n}.
Como \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} é convergente, pelo teste da comparação a série original também converge.

Passo 4

Concluímos que a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{2^n(n+1)} converge.

Resposta

A série converge.

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