( \mathbf{3} valores) Determinar e representar graficamente o dominio da função
f(x, y)=\frac{1}{\sqrt{9-\left(x^{2}+y^{2}\right)}}-\frac{y-3}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+2 x+4 y+4}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x,y) = \frac{1}{\sqrt{\,9-(x^2+y^2)\,}} \;-\; \frac{y-3}{\sqrt{\,x^2+y^2+2x+4y+4\,}}
Logo, precisamos garantir que os radicandos sejam estritamente positivos (para a raiz ser real e o denominador não anular):
  1. 9-(x^2+y^2)>0
  2. x^2+y^2+2x+4y+4>0

Passo 2

Analisando a primeira desigualdade
9-(x^2+y^2)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2+y^2<9.
Isto é, o ponto (x,y) deve ficar dentro do círculo de raio 3 centrado em (0,0).

Passo 3

Para a segunda condição, complete o quadrado:
x^2+2x+y^2+4y+4 = (x+1)^2-1+(y+2)^2-4+4 =(x+1)^2+(y+2)^2-1.
A exigência
x^2+2x+y^2+4y+4>0
torna-se
(x+1)^2+(y+2)^2-1>0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x+1)^2+(y+2)^2>1.
Ou seja, (x,y) deve estar fora do círculo de raio 1 centrado em (-1,-2).

Passo 4

O domínio é a interseção das duas condições:
D = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2<9\text{ e }(x+1)^2+(y+2)^2>1\bigr\}.
Graficamente, é a região interior ao círculo de raio 3 em (0,0), excluindo-se a região interior (e fronteira) do círculo de raio 1 em (-1,-2).

Resposta

D = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x^2+y^2<9,\;(x+1)^2+(y+2)^2>1\bigr\}.
Gráfico: círculo de centro (0,0), raio 3, com “furinho” no círculo de centro (-1,-2), raio 1.

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