Calcular o comprimento do arco polar inteiro de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco completo da curva polar $ r = 8 \cos \theta $. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de comprimento de arco em coordenadas polares. O que vamos precisar é a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares e entender como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do comprimento de arco $ S $ em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui, $ r(\theta) $ é a função que define a curva polar, e $ \frac{dr}{d\theta} $ é a derivada dessa função em relação a $ \theta $.
Passo 3
No nosso caso, a função é $ r = 8 \cos \theta $. Vamos encontrar a derivada de $ r $ em relação a $ \theta $:
Passo 4
Agora, substituímos $ r(\theta) $ e $ \frac{dr}{d\theta} $ na fórmula do comprimento de arco:
Note que usamos $ 0 $ a $ 2\pi $ porque queremos o arco completo da curva polar.
Passo 5
Vamos simplificar dentro da raiz:
E como sabemos que $ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $, então:
Passo 6
Agora, a integral fica mais simples:
Passo 7
Integrando $ 8 $ em relação a $ \theta $ de $ 0 $ a $ 2\pi $:
Resposta
O comprimento do arco polar inteiro da curva $ r = 8 \cos \theta $ é $ 16\pi $ unidades de comprimento.