Calcular o comprimento do arco polar inteiro de:
& r=8 cos theta & S=integral0^pi2 raizf^prime(theta)^2+f(theta)^2 d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco completo da curva polar $ r = 8 \cos \theta $. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de comprimento de arco em coordenadas polares. O que vamos precisar é a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares e entender como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do comprimento de arco $ S $ em coordenadas polares. A fórmula é:
S
Aqui, $ r(\theta) $ é a função que define a curva polar, e $ \frac{dr}{d\theta} $ é a derivada dessa função em relação a $ \theta $.

Passo 3

No nosso caso, a função é $ r = 8 \cos \theta $. Vamos encontrar a derivada de $ r $ em relação a $ \theta $:
r = 8 cos theta

Passo 4

Agora, substituímos $ r(\theta) $ e $ \frac{dr}{d\theta} $ na fórmula do comprimento de arco:
r(theta)
Note que usamos $ 0 $ a $ 2\pi $ porque queremos o arco completo da curva polar.

Passo 5

Vamos simplificar dentro da raiz:
(8 cos theta)^2 + (-8 sin theta)^2 = 64 cos^2 theta + 64 sin^2 theta = 64 (cos^2 theta + sin^2 theta)
E como sabemos que $ \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 $, então:
cos^2 theta + sin^2 theta = 1

Passo 6

Agora, a integral fica mais simples:
S = integral0^2pi raiz64 , dtheta = integral0^2pi 8 , dtheta

Passo 7

Integrando $ 8 $ em relação a $ \theta $ de $ 0 $ a $ 2\pi $:
8

Resposta

O comprimento do arco polar inteiro da curva $ r = 8 \cos \theta $ é $ 16\pi $ unidades de comprimento.

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