Suponha que F(u) seja a transformada de Fourier de um sinal real 1D f(x), F(u)=\mathcal{F}[f(x)]. Prove as seguintes afirmações, em que o sobrescrito * denota o conjugado complexo.
Se f(x)=-f(-x), então F^{*}(u)=-F(u).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
  • Informação: F(u) é a transformada de Fourier de um sinal real 1D f(x), ou seja F(u)=\mathcal{F}[f(x)].
  • Informação: o sinal satisfaz \;f(x) = -f(-x)\; (isto é, f é ímpar).
  • Pedido: provar que \;F^{*}(u) = -F(u)\;, onde o sobrescrito * significa conjugado complexo.

Passo 2

Escolhemos uma convenção explícita da transformada de Fourier para evitar ambiguidades. Vou usar a convenção usual em processamento de sinais:
\mathcal{F}[f(x)](u)=F(u)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i2\pi u x}\,dx.
Explico rapidamente o que cada símbolo significa:
  • \;x\; é a variável no domínio do tempo/espacial.
  • \;u\; é a variável de frequência.
  • e^{-i2\pi u x} é o núcleo complexo da transformada.
  • O integrando é função complexa em geral; o conjugado complexo de um número complexo z é denotado por z^{*} (troca i por -i).

Passo 3

Calculemos o conjugado complexo de F(u). Usamos que o conjugado do integral é o integral dos conjugados (quando a integral é absolutamente convergente, que é a hipótese usual aqui):
F^{*}(u)=\left(\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i2\pi u x}\,dx\right)^{*} =\int_{-\infty}^{\infty} f(x)^{*}\,\bigl(e^{-i2\pi u x}\bigr)^{*}\,dx.
Como f é real temos \;f(x)^{*}=f(x)\;. E \bigl(e^{-i2\pi u x}\bigr)^{*}=e^{i2\pi u x}. Portanto
F^{*}(u)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{i2\pi u x}\,dx.

Passo 4

Agora manipulemos F(u) por mudança de variável para aproveitar a paridade ímpar de f. Começamos por escrever F(u) e fazer a substituição x=-t. Então
F(u)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{-i2\pi u x}\,dx.
Com x=-t temos dx=-dt. Os limites trocam de -\infty\to\infty para \infty\to -\infty, e o sinal de dx corrige isso; portanto
F(u)=\int_{\infty}^{-\infty} f(-t)\,e^{-i2\pi u(-t)}(-dt) =\int_{-\infty}^{\infty} f(-t)\,e^{i2\pi u t}\,dt.
Renomeando t de volta para x (nome de variável de integração é irrelevante),
F(u)=\int_{-\infty}^{\infty} f(-x)\,e^{i2\pi u x}\,dx.

Passo 5

Usamos a hipótese de que f é ímpar: f(-x) = -f(x). Substituindo isso na expressão obtida para F(u) do Passo 4 dá
F(u)=\int_{-\infty}^{\infty} \bigl(-f(x)\bigr)\,e^{i2\pi u x}\,dx =-\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{i2\pi u x}\,dx.
Compare com a expressão do Passo 3 para F^{*}(u), que é \;F^{*}(u)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,e^{i2\pi u x}\,dx\;. Portanto
F(u) = -\,F^{*}(u).

Passo 6

Reescrevendo a igualdade do Passo 5 isolando F^{*}(u), obtemos exatamente o que se queria provar:
F^{*}(u) = -\,F(u).
Observação (intuição útil): essa igualdade implica que \Re(F(u))=0, isto é, F(u) é puramente imaginária para todo u (porque F+F^{*}=0 implica 2\Re(F)=0). Isso faz sentido: a transformada de uma função real ímpar é uma função imaginária ímpar.

Resposta

F^{*}(u)=-F(u)

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