Suponha que
seja a transformada de Fourier de um sinal real 1D
. Prove as seguintes afirmações, em que o sobrescrito * denota o conjugado complexo.
Se
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
- Informação:
é a transformada de Fourier de um sinal real 1D , ou seja . - Informação: o sinal satisfaz
(isto é, é ímpar). - Pedido: provar que
, onde o sobrescrito significa conjugado complexo.
Passo 2
Escolhemos uma convenção explícita da transformada de Fourier para evitar ambiguidades. Vou usar a convenção usual em processamento de sinais:
Explico rapidamente o que cada símbolo significa:
-
é a variável no domínio do tempo/espacial. -
é a variável de frequência. -
é o núcleo complexo da transformada. - O integrando é função complexa em geral; o conjugado complexo de um número complexo
é denotado por (troca por ).
Passo 3
Calculemos o conjugado complexo de
. Usamos que o conjugado do integral é o integral dos conjugados (quando a integral é absolutamente convergente, que é a hipótese usual aqui):
Como
é real temos
. E
. Portanto
Passo 4
Agora manipulemos
por mudança de variável para aproveitar a paridade ímpar de
. Começamos por escrever
e fazer a substituição
. Então
Com
temos
. Os limites trocam de
para
, e o sinal de
corrige isso; portanto
Renomeando
de volta para
(nome de variável de integração é irrelevante),
Passo 5
Usamos a hipótese de que
é ímpar:
. Substituindo isso na expressão obtida para
do Passo 4 dá
Compare com a expressão do Passo 3 para
, que é
. Portanto
Passo 6
Reescrevendo a igualdade do Passo 5 isolando
, obtemos exatamente o que se queria provar:
Observação (intuição útil): essa igualdade implica que
, isto é,
é puramente imaginária para todo
(porque
implica
). Isso faz sentido: a transformada de uma função real ímpar é uma função imaginária ímpar.