Suponha que f(x)=e^-x para 0. Determine as seguintes probabilidades: Determine x tal que P(x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a função de densidade de probabilidade $ f(x) = e^{-x} $ para $ x > 0 $. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ x $ tal que a probabilidade $ P(x < X) = 0,10 $. Isso está relacionado ao estudo das distribuições de probabilidade, especificamente à distribuição exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que $ f(x) = e^{-x} $ é a função de densidade de probabilidade da distribuição exponencial com parâmetro $ \lambda = 1 $. Na distribuição exponencial, a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja maior que um certo valor $ x $ é dada pela função de sobrevivência:
f(x) = e^-x
Como aqui $ \lambda = 1 $, a fórmula fica:
lambda = 1

Passo 3

A questão nos pede para encontrar $ x $ tal que $ P(x < X) = 0,10 $. Isso significa:
x
Agora, precisamos resolver essa equação para $ x $.

Passo 4

Para resolver $ e^{-x} = 0,10 $, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
e^-x = 0,10
Simplificando o lado esquerdo, temos:
ln(e^-x) = ln(0,10)
Multiplicando ambos os lados por -1:
-x = ln(0,10)
Calculando o valor:
x = -ln(0,10)

Resposta

O valor de $ x $ é aproximadamente 2,30.

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