Suponha que
para
. Determine as seguintes probabilidades: Determine x tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá a função de densidade de probabilidade $ f(x) = e^{-x} $ para $ x > 0 $. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ x $ tal que a probabilidade $ P(x < X) = 0,10 $. Isso está relacionado ao estudo das distribuições de probabilidade, especificamente à distribuição exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que $ f(x) = e^{-x} $ é a função de densidade de probabilidade da distribuição exponencial com parâmetro $ \lambda = 1 $. Na distribuição exponencial, a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja maior que um certo valor $ x $ é dada pela função de sobrevivência:
Como aqui $ \lambda = 1 $, a fórmula fica:
Passo 3
A questão nos pede para encontrar $ x $ tal que $ P(x < X) = 0,10 $. Isso significa:
Agora, precisamos resolver essa equação para $ x $.
Passo 4
Para resolver $ e^{-x} = 0,10 $, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Simplificando o lado esquerdo, temos:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Calculando o valor:
Resposta
O valor de $ x $ é aproximadamente 2,30.