Suponha que f(x)=xx-1.
Use os métodos do Cálculo para determinar a inclinação da reta tangente à curva de f no ponto x=-1 e compare o resultado com o do item anterior.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a inclinação da reta tangente à curva da função $ f(x) = \frac{x}{x-1} $ no ponto onde $ x = -1 $. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente a derivada, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em qualquer ponto de uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) = \frac{x}{x-1} $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto.

Passo 3

Para derivar $ f(x) = \frac{x}{x-1} $, vamos usar a regra do quociente, que é aplicada quando temos uma função dividida por outra. A regra do quociente diz que se $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, então:
f(x) = xx-1

Passo 4

Identificando as partes da nossa função:
  • $ u(x) = x $ então $ u’(x) = 1 $
  • $ v(x) = x - 1 $ então $ v’(x) = 1 $

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) = 1 cdot (x - 1) - x cdot 1(x - 1)^2 = x - 1 - x(x - 1)^2 = -1(x - 1)^2

Passo 6

Agora que temos a expressão da derivada, vamos substituir $ x = -1 $ para encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto:
x = -1

Resposta

A inclinação da reta tangente à curva de $ f(x) = \frac{x}{x-1} $ no ponto $ x = -1 $ é f(x) = xx-1 .

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